数学過去問解説

数学過去問解説のまとめページ

東京大学 理系

2022年
第1問 … 積分が入った関数の最小値
第2問 … $a_{2022}$ と $(a_{8091})^2$ の最大公約数
第3問 … 放物線上を動く正方形の外側の面積
第4問 … 曲線 $y=x^3-x$ と $3$ 点で交わる直線
第5問 … 長さ $2$ の線分の中点が通過する体積
第6問 … コイン投げとベクトルと確率

2021年
第1問 … 放物線 $y=x^2+ax+b$ の通過範囲
第2問 … 複素数平面上で $f(2)$ がとりうる範囲
第3問 … 曲線 $y=\dfrac{x}{x^2+3}$ とその接線
第4問 … ${}_{2021}\mathrm{C}_{37}$ を $4$ で割った余り
第5問 … $(-\alpha,-3),(\theta+\sin\theta,\cos\theta)$ 間の距離$^2$
第6問 … $4$ 次式を $2$ 次式の積に因数分解

2020年
第1問 … 連立不等式をすべて満たす実数の集合
第2問 … $2\leqq\triangle\mathrm{ABX}+\triangle\mathrm{BCX}+\triangle\mathrm{CAX}\leqq3$
第3問 … 領域が $90^\circ$ 回転する間に通過する面積
第4問 … $2^m$ から選んだ $k$ 個の積の総和
第5問 … 端点が円錐内にある線分が通過する体積
第6問 … 楕円上の点で接線と直線が直交

2019年
第1問 … 定積分の計算
第2問 … 正方形の周上を動く点と線分の長さの比
第3問 … 八面体の平面による切り口
第4問 … $(n^2+1)(5n^2+9)\ne(\text{整数})^2$ の証明
第5問 … $x^{2n-1}=\cos x$ の解と極限
第6問 … $4$ 次方程式の複素数解

2018年
第1問 … $f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x$ の増減表と極限
第2問 … 数列 $a_n=\dfrac{{}_{2n+1}\mathrm{C}_n}{n!}$ が整数となる $n$
第3問 … ベクトルの終点が動く領域の面積
第4問 … $3$ 次方程式の実数解
第5問 … 複素数平面と軌跡
第6問 … 折れ線上を動く球が通過する体積

京都大学 理系

2022年
第1問 … $5.4\lt\log_{4}2022\lt5.5$ の証明
第2問 … $3$ つの自然数の差が $2$ 以上の確率
第3問 … $3$ つの整数の最大公約数
第4問 … 四面体とその内部の三角形の重心
第5問 … 曲線 $y=\cos^3x$ と長方形の面積
第6問 … $2$ つの数列の差の一般項

2021年
第1問 … 問1:平面に対して対称な点の座標
第1問 … 問2:$4$ 色の玉を取り出す確率
第2問 … 曲線の接線上の $2$ 点間の距離の最小値
第3問 … 三角関数が入った無限級数
第4問 … 曲線 $y=\log(1+\cos x)$ の長さ
第5問 … 三角形の垂心の軌跡
第6問 … 問1:素数に関する命題の証明
第1問 … 問2:$f(a)=af(1)$

2020年
第1問 … 方程式の解が複素数平面上で正三角形
第2問 … $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-\alpha)^n\sin(\alpha^n\pi)$
第3問 … 球面上の点に関するベクトルの内積
第4問 … 整数を返す関数 $B(f(m,n))$ の最大値
第5問 … $4\times4$ 数独のパターン数
第6問 … 回転体の体積

2019年
第1問 … 問1:$\cos$ と有理数・無理数
第1問 … 問2:定積分の計算
第2問 … $|f(n)|$ と $|f(n+1)|$ が素数
第3問 … 内分点が描く曲線と面積
第4問 … さいころと確率
第5問 … 球に内接する四角錐の体積の最大値
第6問 … $(1+i)^n+(1-i)^n\gt10^{10}$

京都大学 理学部特色入試

2023年度(2022年)
第1問 … 三角形の内部で条件を満たす点の個数
第2問 … 二項係数と指数・対数に関する証明
第3問 … 複素数 $\dfrac{z_{2022}-z_{2023}}{z_{2023}-z_{2024}}$ がとりうる値
第4問 … ${}_{n}\mathrm{C}_{p^2}\equiv a\pmod{p^3}$ なる $n$ の存在証明

2022年度(2021年)
第1問 … 多項式と数列に関する証明
第2問 … 円周上の $5$ 点に関する面積の最大値
第3問 … $\mathbb{Z}^4$ の部分集合の存在証明
第4問 … 格子点の点列に関する確率と極限

2021年度(2020年)
第1問 … 長さと互いの内積が等しい空間ベクトル
第2問 … 黒玉が隣り合わないようなマスの入れ方
第3問 … $2$ 択の漸化式によって定まる数列
第4問 … 座標平面上の点列に関する証明

大阪大学 理系

2022年
第1問 … 複素数平面上で点が描く図形
第2問 … $\cos\dfrac{2\pi}{7}$ が無理数であることの証明
第3問 … 線分が通過する領域
第4問 … 関数と数列に関する不等式の証明と極限
第5問 … 媒介変数表示された曲線と面積

2021年
第1問 … 曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ の接線と関数の最小値
第2問 … $4$ つの内分点が同一平面上に存在
第3問 … 不等式の証明と極限
第4問 … 積分のからむ整数問題
第5問 … 直線が同じ曲線に $2$ ヵ所で接する条件

2020年
第1問 … 曲線 $y=(x+1)^{\frac{1}{x+1}}$ の概形
第2問 … さいころと複素数と確率
第3問 … 三角形の角の大きさと辺の長さ
第4問 … 領域の面積と極限 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\big(S(t)-2\log t\big)$
第5問 … 三角形を回転させた立体の体積の最大値

神戸大学 理系

2022年
前期日程
第1問 … $a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}\cdot a_n}$ と極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$
第2問 … 弧と弦で囲まれた部分の面積と極限
第3問 … $f(x)=\log(1+x^2)-ax^2$ と面積
第4問 … 双曲線と直線の交点
第5問 … $a^m=b^n=(ab)^p$ と整数問題
後期日程
第1問 … 放物線の接線と原点の距離の最小値
第2問 … 複素数平面上の直角二等辺三角形
第3問 … 三角関数が入った積分の極限
第4問 … 媒介変数表示された曲線と回転体の体積
第5問 … 整数を $4n^2-1$ で割った余り

2021年
前期日程
第1問 … $(2+i)^n$ が虚数であることの証明
第2問 … 定積分の計算
第3問 … ベクトルのなす角の最大値
第4問 … 放物線と円の共有点
第5問 … 座標平面上を動く点の速度と速さ
後期日程
第1問 … $f(n)$ が $5$ の倍数となる整式
第2問 … 取り出す球の色と個数に関する確率
第3問 … 六角錐と線分の内分点
第4問 … $2$ 次方程式の実数解がとりうる値の範囲
第5問 … 積分が入った関数の最小値

2020年
前期日程
第1問 … $f(\alpha)=f'(\alpha)=0$ を満たす $3$ 次式
第2問 … 三角形の内心と回転体の体積
第3問 … 和が $30$ になる自然数の順列・組合せ
第4問 … $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ と極限
第5問 … 絶対値のついた漸化式と循環する数列
後期日程
第1問 … $e^{4x}-2-\tan x=0$ の実数解
第2問 … 連立不等式が満たす部分の面積の最小値
第3問 … $\Sigma$ の入った関数と極限
第4問 … $z=\cos\dfrac{\pi}{9}+i\sin\dfrac{\pi}{9}$ と複素数平面
第5問 … さいころと漸化式と確率

2019年
前期日程
第1問 … $e^x$ と $x^a$ の大小判定
第2問 … 三角形の重心とベクトル
第3問 … $2$ 個のさいころの目の積と確率
第4問 … $\{a_n\}=1,3,4,1,3,4,\cdots$
第5問 … 媒介変数表示された曲線と面積
後期日程
第1問 … $\tan(\alpha+\beta)$ が整数
第2問 … 連立不等式が表す領域と回転体の体積
第3問 … $3$ 本のくじと得点と確率
第4問 … 積分が入った関数と極限
第5問 … データの分析とベクトル

一橋大学

2022年
前期日程
第1問 … $2^{a\,}3^b+2^{c\,}3^d=2022$
第2問 … 座標平面上の三角形の面積の最大値
第3問 … 不等式で定まる $xy$ 平面上の領域
第4問 … 端点が立方体内の線分が通過する体積
第5問 … $n$ 回目に赤玉を取り出す確率
後期日程
第1問 … $\log_y(6x+y)=x$
第2問 … 空間内の原点と動点の距離の最小値
第3問 … $\min(x-y^2, \ y-x^2)$ の最大値
第4問 … さいころの出た目で定まる整数と確率
第5問 … [Ⅰ]:線対称な $3$ 次関数で囲まれた面積
第1問 … [Ⅱ]:$(1+x)^{\frac{1}{x}}\lt e\lt(1+x)^{\frac{1}{x}+1}$

2021年
前期日程
第1問 … $1000$ 以下の素数が $250$ 個以下
第2問 … $a_k=2^{[\sqrt{k}\,]}$ の初項から第 $n^2$ 項までの和
第3問 … $2$ 次方程式と三角形の成立条件
第4問 … $3$ 個の共有点をもつ円と放物線
第5問 … サイコロと定積分と確率
後期日程
第1問 … $(\sin x+1)(\cos x+1)=k$
第2問 … 放物線と $45^\circ$ 回転した接線
第3問 … $\dfrac{a+b}{2}\lt\sqrt{ab}+\dfrac{k}{\sqrt{ab}}$
第4問 … 約数の個数の和に関する確率
第5問 … [Ⅰ]:$y\gt x^n$ と領域
第1問 … [Ⅱ]:定積分の微分に関する証明

2020年
前期日程
第1問 … $2020$ で割り切れる $100$ 桁の整数
第2問 … 三角方程式を満たす $\theta$ の個数
第3問 … 平面ベクトルの内積の最大・最小
第4問 … 絶対値の入った定積分の最小値
第5問 … 硬貨と得点と確率
後期日程
第1問
第2問
第3問
第4問
第5問 … [Ⅰ]:
第1問 … [Ⅱ]: