今回は、京都大学理系数学(2019年 第4問)の解説をしたいと思います。
問題
$1$ つのさいころを $n$ 回続けて投げ,出た目を順に $X_1,X_2,\cdots,X_n$ とする。このとき次の条件をみたす確率を $n$ を用いて表せ。ただし $X_0=0$ としておく。
条件:$1\leqq k\leqq n$ をみたす $k$ のうち,$X_{k-1}\leqq4$ かつ $X_k\geqq5$ が成立するような $k$ の値はただ $1$ つである。
(京都大学)
解答
$k$ を、$1\leqq k\leqq n$ で $X_{k-1}\leqq4$ かつ $X_k\geqq5$ を満たす、ただ $1$ つの値とする。
$X_{n+1}=0$ とすると、条件を満たすとき、$k\leqq \ell\leqq n$ を満たす $\ell$ のうち、$X_{\ell}\geqq5$ かつ $X_{\ell+1}\leqq4$ が成立するような $\ell$ の値はただ $1$ つとなる。
このとき、さいころの出た目は
$$\left\{\begin{alignat}{2}
&X_i\leqq4 \ \text{(}\,1\leqq i\leqq k-1\,\text{のとき)}& &\quad\cdots\text{①} \\[0.2em]
&X_i\geqq5 \ \text{(}\,k\leqq i\leqq \ell\,\text{のとき)} \\[0.2em]
&X_i\leqq4 \ \text{(}\,\ell+1\leqq i\leqq n\,\text{のとき)}& &\quad\cdots\text{②} \\
\end{alignat}\right.$$のように遷移する。
なお、$k=1$ のときは①がなく、$\ell=n$ のときは②がない。
さいころを $1$ 回投げたとき、出た目が $4$ 以下となる確率は $\dfrac{2}{3}$,$5$ 以上となる確率は $\dfrac{1}{3}$ なので、求める確率は
$$\begin{eqnarray}
&& \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\sum_{\ell=k}^{n}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\ell-k+1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-\ell} \\
&=& \dfrac{2^{n-1}}{3^n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2^k\left\{\displaystyle\sum_{\ell=k}^{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\ell}\right\} \\
&=& \dfrac{2^{n-1}}{3^n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2^k\cdot\dfrac{\dfrac{1}{2^k}\left(1-\dfrac{1}{2^{n-k+1}}\right)}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&=& \dfrac{2^n}{3^n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{2^{n-k+1}}\right) \\
&=& \dfrac{1}{3^n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2^n-2^{k-1}) \\
&=& \dfrac{1}{3^n}\left(2^n\cdot n-\dfrac{2^n-1}{2-1}\right) \\[0.2em]
&=& \boldsymbol{(n-1)\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}
\end{eqnarray}$$
$$\boldsymbol{(n-1)\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}$$
解説
この問題には、要注意ポイントがいくつかあります。
- $1$ 回目に $5$ 以上が出た場合も、「$\,4$ 以下 → $5$ 以上」が成立すること
- 「$\,4$ 以下 → $5$ 以上」が成立した後、ずっと $5$ 以上である必要はないこと
これらのポイントを踏まえると、「$\,5$ 以上 → $4$ 以下」が成立するのは $1$ 回以下で、その後はずっと $4$ 以下でないといけない、と分かります。
本解答では、$X_{n+1}=0$ とすることで強制的に「$\,5$ 以上 → $4$ 以下」が成立するようにして、$1$ つの式で確率を求められるように工夫しました。
状況を把握する力だけでなく、等比級数や指数の計算を正確にやりきる力も求められる問題です。
まとめ
今回は、京都大学理系数学(2019年 第4問)の解説をしました。
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