神戸大学 理系数学 2019年[後期] 第1問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2019年後期 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

$m,n$ を $0\lt m\lt n$ をみたす整数とする．$\alpha,\beta$ を $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}, \ $$0\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{2}, \ $$m=\tan\alpha, \ $$n=\tan\beta$ をみたす実数とする．以下の問に答えよ．

⑴　$\tan\dfrac{7\pi}{12}$ の値を求めよ．

⑵　$\alpha+\beta\gt\dfrac{7\pi}{12}$ であることを示せ．

⑶　$\tan(\alpha+\beta)$ が整数となるような組 $(m,n)$ をすべて求めよ．

（神戸大学）

解答

⑴

$$\begin{align}
\tan\dfrac{7\pi}{12} &= \tan\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right) \\
&= \dfrac{\tan\dfrac{\pi}{3}+\tan\dfrac{\pi}{4}}{1-\tan\dfrac{\pi}{3}\tan\dfrac{\pi}{4}} \\
&= \dfrac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} \\[0.3em]
&= \boldsymbol{-2-\sqrt{3}}
\end{align}$$

⑵

$m,n$ は $0\lt m\lt n$ を満たす整数なので
$$m\geqq 1,\quad n\geqq 2$$となる。

すなわち
$$\tan\alpha\geqq 1,\quad\tan\beta\geqq 2\gt\sqrt{3}$$であり、$0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}, \ $$0\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$ より
$$\dfrac{\pi}{4}\leqq\alpha\lt\dfrac{\pi}{2},\quad\dfrac{\pi}{3}\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$$となる。

よって
$$\dfrac{7\pi}{12}\lt\alpha+\beta \ \ (\lt\pi) \quad\cdots\text{①}$$であるから、題意は示された。$$\tag{証明終}$$

⑶

①より
$$-2-\sqrt{3}\lt\tan(\alpha+\beta)\lt 0$$である。

条件より $\tan(\alpha+\beta)$ は整数なので
$$\tan(\alpha+\beta)=-1,-2,-3$$となる。

すなわち、$k=1,2,3$ として
$$\begin{align}
-k &= \tan(\alpha+\beta) \\
&= \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\
&= \dfrac{m+n}{1-mn}
\end{align}$$が成り立ち、両辺に $1-mn$ をかけて整理すると
$$\begin{align}
-k+kmn &= m+n \\
kmn-m-n-k &= 0 \\
k^2mn-km-kn-k^2 &= 0 \\
(km-1)(kn-1) &= k^2+1
\end{align}$$となる。

(ⅰ)　$k=1$ のとき
$$(m-1)(n-1)=2$$となり、$m-1, \ $$n-1$ は整数かつ $0\leqq m-1\lt n-1$ を満たすので
$$\begin{align}
(m-1,\,n-1) &= (1,2) \\[0.3em]
\therefore \ (m,n) &= (2,3)
\end{align}$$

(ⅱ)　$k=2$ のとき
$$(2m-1)(2n-1)=5$$となり、$2m-1, \ $$2n-1$ は整数かつ $1\leqq 2m-1\lt 2n-1$ を満たすので
$$\begin{align}
(2m-1,\,2n-1) &= (1,5) \\[0.3em]
\therefore \ (m,n) &= (1,3)
\end{align}$$

(ⅲ)　$k=3$ のとき
$$(3m-1)(3n-1)=10$$となり、$3m-1, \ $$3n-1$ は整数かつ $2\leqq 3m-1\lt 3n-1$ を満たすので
$$\begin{align}
(3m-1,\,3n-1) &= (2,5) \\[0.3em]
\therefore \ (m,n) &= (1,2)
\end{align}$$

(ⅰ)～(ⅲ)より、求める組 $(m,n)$ は
$$\mathbf{(1,2)},\,\mathbf{(1,3)},\,\mathbf{(2,3)}$$

解説

$\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}$ に気づければ、見通しの立てやすい問題です。

⑴,⑵より、⑶で $\tan(\alpha+\beta)$ の値が絞られるところがポイントです。

その後の $(m,n)$ を求める部分は整数問題として頻出なので、確実に処理できるようにしましょう。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2019年後期 第1問）の解説をしました。