東京大学 理系数学 2023年 第1問 解説

今回は、東京大学理系数学（2023年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

⑴　正の整数 $k$ に対し，
$$A_k=\displaystyle\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}}\left|\sin(x^2)\right|\,dx$$とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。
$$\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq A_k\leqq\dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$$

⑵　正の整数 $n$ に対し，
$$B_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{2n\pi}}\left|\sin(x^2)\right|\,dx$$とおく。極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n$ を求めよ。

（東京大学）

解答

⑴

正の整数 $k$ に対し，
$$A_k=\displaystyle\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}}\left|\sin(x^2)\right|\,dx$$とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。
$$\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq A_k\leqq\dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$$

$x=\sqrt{t}$ とおくと
$$dx=\dfrac{dt}{2\sqrt{t}}\qquad
\begin{array}{c|c} \hline
x & \sqrt{k\pi} \to \sqrt{(k+1)\pi} \\ \hline
t & k\pi \to (k+1)\pi \\ \hline
\end{array}$$より
$$A_k=\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{t}}\,dt.$$

$k\pi\leqq t\leqq(k+1)\pi$ において
$$\dfrac{1}{2\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq\dfrac{1}{2\sqrt{t}}\leqq\dfrac{1}{2\sqrt{k\pi}}.$$$|\sin t|\geqq0$ より
$$\dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq\dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{t}}\leqq\dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{k\pi}}.$$各辺を $k\pi\leqq t\leqq(k+1)\pi$ において積分すると
$$\begin{align}
&\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{(k+1)\pi}}\,dt\leqq\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{t}}\,dt\leqq\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{k\pi}}\,dt \\[0.3em]
\therefore \ &\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{(k+1)\pi}}\,dt\leqq A_k\leqq\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{k\pi}}\,dt.\quad\cdots\text{①}
\end{align}$$

$\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,dt$ について考えると、$|\sin t|$ は周期 $\pi$ の関数なので
$$\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,dt &=& \displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin t|\,dt=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt \\[0.2em]
&=& \big[-\cos t\,\big]_{0}^{\pi}=1-(-1)=2.
\end{eqnarray}$$

よって、①より
$$\begin{align}
&\dfrac{1}{2\sqrt{(k+1)\pi}}\cdot2\leqq A_k\leqq\dfrac{1}{2\sqrt{k\pi}}\cdot2 \\
\therefore \ &\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq A_k\leqq\dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}.\quad\cdots\text{②}
\end{align}$$$$\tag{証明終}$$

⑵

正の整数 $n$ に対し，
$$B_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{2n\pi}}\left|\sin(x^2)\right|\,dx$$とおく。極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n$ を求めよ。

②に $k=n,\,n+1,\,\cdots,\,2n-1$ を代入して辺々足すと
$$\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1}\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq \displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1}A_k\leqq\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1}\dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}.$$

ここで
$$\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1}A_k=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{2n\pi}}\left|\sin(x^2)\right|\,dx=\sqrt{n}B_n$$より
$$\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1}\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq B_n\leqq\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1}\dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}.$$

左辺については $k=\ell+n-1$ とおき、右辺については $k=\ell+n$ とおくと
$$\begin{align}
&\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{(\ell+n)\pi}}\leqq B_n\leqq\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}\dfrac{1}{\sqrt{(\ell+n)\pi}} \\[0.3em]
&\dfrac{1}{n\sqrt{\pi}}\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{\ell}{n}+1}}\leqq B_n\leqq\dfrac{1}{n\sqrt{\pi}}\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{\ell}{n}+1}}.
\end{align}$$

区分求積法により
$$\begin{eqnarray}
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{\pi}}\displaystyle\sum_{\ell=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{\ell}{n}+1}} &=& \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{\pi}}\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{\ell}{n}+1}} \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\Big[2\sqrt{x+1}\Big]_0^1 \\
&=& \dfrac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{\pi}}.
\end{eqnarray}$$

したがって、はさみうちの原理により
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n=\boldsymbol{\dfrac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{\pi}}}.$$

解説

⑴は、積分区間の値が分母に来るにはどうすればよいかと悩んだ人も多いと思います。
取っ掛かりとしては、積分区間の $\sqrt{\phantom{11}}$ と $\sin(x^2)$ の両方を扱いやすくするために置換積分をするという発想です。

$\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,dt$ については、本解答のように $|\sin t|$ の周期性に着目すればスマートですが、思いつかなければ $k$ の偶奇で場合分けをしても良いです。

⑵は、⑴を利用しようとすると、自ずと $k$ に $n$ ～ $2n-1$ を代入するという発想になると思います。

区分求積法に持ち込む際の計算ミスに注意しましょう。区分求積法の積分区間は $1$ ～ $n$ もしくは $0$ ～ $n-1$ です。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2023年 第1問）の解説をしました。