大阪大学 理系数学 2021年 第3問 解説

今回は、大阪大学理系数学（2021年 第3問）の解説をしたいと思います。

問題

　$n$ を自然数とし，$t$ を $t\geqq 1$ をみたす実数とする．

⑴　$x\geqq t$ のとき，不等式
$$-\dfrac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x -\log t -\dfrac{1}{t}(x-t) \leqq 0$$が成り立つことを示せ．

⑵　不等式
$$-\dfrac{1}{6n^3} \leqq \displaystyle\int_{t}^{t+\frac{1}{n}}\log xdx-\dfrac{1}{n}\log t-\dfrac{1}{2tn^2} \leqq 0$$が成り立つことを示せ．

⑶　$a_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\log\left( 1+\dfrac{k}{n} \right)$ とおく．$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-pn)=q$ をみたすような実数 $p,q$ の値を求めよ．

（大阪大学）

解答

⑴

$f(x)=\log x -\log t -\dfrac{1}{t}(x-t)+\dfrac{(x-t)^2}{2}$ とおくと
$$\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{t}+x-t = \dfrac{t-x}{tx}+x-t \\
&=& (x-t)\left( 1-\dfrac{1}{tx} \right) \geqq 0
\end{eqnarray}$$より、$f(x)$ は $x\geqq t$ において単調増加なので
$$f(x)\geqq f(t)=0$$したがって
$$-\dfrac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x -\log t -\dfrac{1}{t}(x-t) \quad\cdots\text{①}$$

$g(x)=\log x -\log t -\dfrac{1}{t}(x-t)$ とおくと
$$g'(x) = \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{t} = \dfrac{t-x}{tx} \leqq 0$$より、$g(x)$ は $x\geqq t$ において単調減少なので
$$g(x)\leqq g(t)=0$$したがって
$$\log x -\log t -\dfrac{1}{t}(x-t)\leqq 0 \quad\cdots\text{②}$$

①,②より
$$-\dfrac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x -\log t -\dfrac{1}{t}(x-t) \leqq 0 \quad\cdots\text{③}$$$$\tag{証明終}$$

⑵

③の各辺を $x=t$ から $x=t+\dfrac{1}{n}$ までの範囲で積分すると
$$\displaystyle\int_{t}^{t+\frac{1}{n}}\left\{ -\dfrac{(x-t)^2}{2} \right\}dx = \left[ -\dfrac{(x-t)^3}{6} \right]_{t}^{t+\frac{1}{n}} = -\dfrac{1}{6n^3}$$$$\begin{eqnarray}
&& \displaystyle\int_{t}^{t+\frac{1}{n}}\left\{ \log x -\log t -\dfrac{1}{t}(x-t) \right\}dx \\
&=& \displaystyle\int_{t}^{t+\frac{1}{n}}\log xdx + \left[ -(\log t)x-\dfrac{1}{2t}(x-t)^2 \right]_{t}^{t+\frac{1}{n}} \\
&=& \displaystyle\int_{t}^{t+\frac{1}{n}}\log xdx-\dfrac{1}{n}\log t-\dfrac{1}{2tn^2}
\end{eqnarray}$$$$\displaystyle\int_{t}^{t+\frac{1}{n}}0dx =0$$

したがって
$$-\dfrac{1}{6n^3} \leqq \displaystyle\int_{t}^{t+\frac{1}{n}}\log xdx-\dfrac{1}{n}\log t-\dfrac{1}{2tn^2} \leqq 0 \quad\cdots\text{④}$$$$\tag{証明終}$$

⑶

④の各辺に $t=1, \ 1+\dfrac{1}{n}, \ 1+\dfrac{2}{n},\cdots, \ 1+\dfrac{n-1}{n}$ を代入してそれら $n$ 個の和をとることを考える。

左辺については
$$-\dfrac{1}{6n^3}\cdot n = -\dfrac{1}{6n^2}$$

中辺については
$$\begin{eqnarray}
&& \displaystyle\int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\log xdx + \displaystyle\int_{1+\frac{1}{n}}^{1+\frac{2}{n}}\log xdx + \cdots + \displaystyle\int_{1+\frac{n-1}{n}}^{2}\log xdx \\
&=& \displaystyle\int_{1}^{2}\log xdx = \Big[ x\log x \ – \ x \Big]_1^2 = 2\log 2-1
\end{eqnarray}$$$$\begin{eqnarray}
&& \dfrac{1}{n}\log 1 + \dfrac{1}{n}\log\left( 1+\dfrac{1}{n} \right) + \cdots + \dfrac{1}{n}\log\left( 1+\dfrac{n-1}{n} \right) \\
&=& \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\log\left( 1+\dfrac{k}{n} \right) = \dfrac{1}{n}a_n
\end{eqnarray}$$$$\begin{eqnarray}
&& \dfrac{1}{2n^2\cdot 1} + \dfrac{1}{2n^2\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)} + \cdots + \dfrac{1}{2n^2\left( 1+\dfrac{n-1}{n} \right)} \\
&=& \dfrac{1}{2n^2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}}
\end{eqnarray}$$

右辺については
$$0\cdot n = 0$$

したがって
$$-\dfrac{1}{6n^2} \leqq 2\log 2-1 -\dfrac{1}{n}a_n -\dfrac{1}{2n^2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}} \leqq 0$$各辺に $-n \ (\lt 0)$ をかけると
$$0 \leqq a_n -(2\log 2-1)n +\dfrac{1}{2n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}} \leqq \dfrac{1}{6n}$$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{6n}=0$ なので、はさみうちの原理により
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{ a_n -(2\log 2-1)n +\dfrac{1}{2n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}} \right\}=0$$

ここで、区分求積法を用いると
$$\begin{eqnarray}
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{2n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}} &=& \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x}dx \\
&=& \dfrac{1}{2}\Big[ \log|1+x| \Big]_0^1 \\
&=& \dfrac{\log 2}{2}
\end{eqnarray}$$となるので、
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{ a_n -(2\log 2-1)n \right\}=-\dfrac{\log 2}{2}$$

よって
$$p=\boldsymbol{2\log 2-1},\quad q=\boldsymbol{-\dfrac{\log 2}{2}}$$

解説

⑴は、微分を使って $2$ つの不等号が成り立つことをそれぞれ示しましょう。

⑵は、不等式中に $\displaystyle\int_{t}^{t+\frac{1}{n}}$ があるので、積分するんだろうなという発想ができます。

⑶は、$a_n$ の中に $\displaystyle\sum$ があるので何かしらの和をとることを考えて、$\displaystyle\int_{t}^{t+\frac{1}{n}}$ を数珠つなぎのようにするという方法を練習問題などで経験していれば思いつけるかと思います。
また $a_n$ の形からして区分求積法が絡みそうだと予想が付きます。
計算ミスに注意して解き進めましょう。

まとめ

今回は、大阪大学理系数学（2021年 第3問）の解説をしました。