一橋大学 数学 2020年 第1問 解説

今回は、一橋大学数学（2020年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　以下の問いに答えよ。

⑴　$10^{10}$ を $2020$ で割った余りを求めよ。

⑵　$100$ 桁の正の整数で各位の数の和が $2$ となるもののうち，$2020$ で割り切れるものの個数を求めよ。

（一橋大学）

解答

⑴

$$\begin{align}
10^{4} &= 10000 \\
&= 2020\cdot5-100 \\
&\equiv-100\pmod{2020}
\end{align}$$より
$$\begin{align}
10^{10} &= (10^4)^2\cdot10^2 \\
&\equiv (-100)^2\cdot10^2\pmod{2020} \\
&= 10^4\cdot10^2 \\
&\equiv -100\cdot10^2\pmod{2020} \\
&= -10^4 \\
&\equiv100. \pmod{2020}
\end{align}$$

したがって、$10^{10}$ を $2020$ で割った余りは $\mathbf{100}$ である。

⑵

$10^{99}$ の位の数が $3$ 以上であるとき、各位の数の和は $3$ 以上となり条件に適さない。よって、$10^{99}$ の位の数は $1$ または $2$ である。

(ⅰ)　$10^{99}$ の位の数が $1$ のとき

各位の数の和は $2$ なので、$10^{0}\,$～$\,10^{98}$ の位の数のうち $1$ つだけが $1$ で、他は $0$ である。すなわち、$10^{99}$ と $10^a$ の位の数が $1$ で他の位の数が $0$ である整数
$$10^{99}+10^a\quad\cdots(*)$$について考える。（ただし、$a$ は $0$ 以上 $98$ 以下の整数）

ここで、$2020=20\times101$ であり、$20$ と $101$ は互いに素なので、$2020$ で割り切れる整数は「$\,20$ の倍数」かつ「$\,101$ の倍数」である。

$20$ の倍数は、下 $2$ 桁が $00$，$20$，$40$，$60$，$80$ のいずれかである整数であるが、各位の数は $0$ または $1$ なので、下 $2$ 桁は $00$ に限られる。$\cdots\text{①}$

また
$$\begin{alignat}{2}
10^1 &\equiv 10&& &\pmod{101} \\
10^2 &\equiv -1&& &\pmod{101} \\
10^3 &\equiv -10&& &\pmod{101} \\
10^4 &\equiv 1&& &\pmod{101} \\
10^5 &\equiv 10&& &\pmod{101}
\end{alignat}$$より
$$\begin{array}{l}
10^k\equiv\left\{
\begin{array}{cl}
10 & \text{（}\,k\equiv1 \ (\mathrm{mod} \ 4) \ \text{のとき）} \\
-1 & \text{（}\,k\equiv2 \ (\mathrm{mod} \ 4) \ \text{のとき）} \\
-10 & \text{（}\,k\equiv3 \ (\mathrm{mod} \ 4) \ \text{のとき）} \\
1 & \text{（}\,k\equiv0 \ (\mathrm{mod} \ 4) \ \text{のとき）}
\end{array}
\right. \\
\pmod{101}
\end{array}$$となる。

$99\equiv3 \pmod{4}$ より
$$10^{99}\equiv-10\pmod{101}$$であるから、$(*)$ が $101$ の倍数となるのは
$$10^a\equiv10\pmod{101}$$すなわち
$$a\equiv1 \pmod{4}\quad\cdots\text{②}$$となるときである。

$0$ 以上 $98$ 以下の整数 $a$ のうち、②を満たすものは
$$1, \ 5, \ 9, \ \cdots, \ 97$$の $25$ 個あるが、$a=1$ のときは $(*)$ の下 $2$ 桁が $10$ となるので不適。

よって、題意を満たす整数は $24$ 個である。

(ⅱ)　$10^{99}$ の位の数が $2$ のとき

各位の数の和は $2$ なので、$10^{0}\,$～$\,10^{98}$ の位の数はすべて $0$ である。このとき、この整数は $2\times10^{99}$ と表される。

(ⅰ)より
$$\begin{align}
2\times10^{99} &\equiv 2\times(-10)\pmod{101} \\
&\equiv 81\pmod{101}
\end{align}$$となるので、この整数は $2020$ で割り切れない。

(ⅰ),(ⅱ)より、求める個数は $\mathbf{24 \ \text{個}}$ である。

解説

⑴は、$2020$ を $5$ 倍すると $10^4$ に近い数になるので、$10^{10}$ から $10^4$ をくくり出して、数を小さくしていきましょう。

⑵は、$100$ 桁の数字と言われていますが、各位の数の和が $2$ という条件がキツく、考えられる整数はそこまで多くないです。

$\mathrm{mod}$ を使った計算に慣れておきましょう。

まとめ

今回は、一橋大学数学（2020年 第1問）の解説をしました。