東京大学 理系数学 2021年 第5問 解説

今回は、東京大学理系数学（2021年 第5問）の解説をしたいと思います。

問題

　$\alpha$ を正の実数とする。$0\leqq \theta \leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ を，座標平面上の $2$ 点 $\mathrm{A}(-\alpha, -3), \ $$\mathrm{P}(\theta + \sin\theta , \cos\theta)$ 間の距離 $\mathrm{AP}$ の $2$ 乗として定める。

⑴　$0\lt\theta\lt\pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ $1$ つ存在することを示せ。

⑵　以下が成り立つような $\alpha$ の範囲を求めよ。
$0\leqq \theta \leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ は，区間 $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ のある点において最大になる。

（東京大学）

解答

⑴

$$\begin{eqnarray}
f(\theta) &=& \mathrm{AP}^2 \\
&=& (\theta + \sin\theta +\alpha)^2+(\cos\theta + 3)^2
\end{eqnarray}$$より
$$\begin{eqnarray}
f'(\theta) &=& 2(\theta + \sin\theta +\alpha)(1+\cos\theta) + 2(\cos\theta + 3)(-\sin\theta) \\
&=& -4\sin\theta +2(\theta + \alpha)\cos\theta + 2(\theta + \alpha) \\[0.5em]
f^{\prime\prime}(\theta) &=& -4\cos\theta +2\cos\theta + 2(\theta + \alpha)(-\sin\theta) +2 \\
&=& -2(\theta + \alpha)\sin\theta -2\cos\theta +2 \\[0.5em]
f^{\prime\prime\prime}(\theta) &=& -2\sin\theta -2(\theta + \alpha)\cos\theta +2\sin\theta \\
&=& -2(\theta + \alpha)\cos\theta
\end{eqnarray}$$であるから、$f^{\prime\prime}(\theta)$ の増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline
\theta & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots & \pi \\ \hline
f^{\prime\prime\prime}(\theta) & & – & 0 & + & \\ \hline
f^{\prime\prime}(\theta) & 0 & \searrow & 2-\pi-2\alpha & \nearrow & 4 \\ \hline
\end{array}$$

よって、$f^{\prime\prime}(\beta) = 0, \ $$\dfrac{\pi}{2}\lt\beta\lt\pi$ を満たす実数 $\beta$ がただ $1$ つ存在する。

また $0\lt \theta \lt \beta$ のとき $f^{\prime\prime}(\theta) \lt 0$、$\beta \lt \theta \lt \pi$ のとき $f^{\prime\prime}(\theta) \gt 0$ となるので、$f'(\theta)$ の増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline
\theta & 0 & \cdots & \beta & \cdots & \pi \\ \hline
f^{\prime\prime}(\theta) & & – & 0 & + & \\ \hline
f'(\theta) & 4\alpha & \searrow & f'(\beta) & \nearrow & 0 \\ \hline
\end{array}$$

よって $f'(\beta)\lt f'(\pi)=0$ であり、$\alpha\gt 0$ より $f'(0)=4\alpha\gt 0$ なので、$f'(\gamma) = 0, \ $$0\lt\gamma\lt\beta$ を満たす実数 $\gamma$ がただ $1$ つ存在する。

したがって、$0\lt\theta\lt\pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ $1$ つ存在する。$$\tag{証明終}$$

⑵

$f'(\theta)$ の増減表より、$0\lt \theta \lt \gamma$ のとき $f'(\theta) \gt 0$、$\gamma\lt \theta \lt \pi$ のとき $f'(\theta) \lt 0 \ \cdots\text{①}$ となるので、$f(\theta)$ の増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline
\theta & 0 & \cdots & \gamma & \cdots & \pi \\ \hline
f'(\theta) & & + & 0 & – & \\ \hline
f(\theta) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \\ \hline
\end{array}$$

よって、$f(\theta)$ は $\theta = \gamma$ のとき最大となるので、求める条件は $\gamma\lt\dfrac{\pi}{2}$ と同値である。

①より、$\gamma\lt\dfrac{\pi}{2}$ は $f’\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \lt 0$ と同値であり
$$f’\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\pi-4+2\alpha$$より、求める $\alpha$ の範囲は $\boldsymbol{0 \lt \alpha \lt 2-\dfrac{\pi}{2}}$ である。

解説

⑴では $2$ 階微分まで計算してもそこまできれいな形にならず、焦った人もいるのではないでしょうか。そういうときは覚悟を決めて $3$ 階微分を計算しましょう。

⑵は⑴でやってきたことを活かして、条件をどう言い換えればシンプルになるか考えれば大丈夫です。
$f’\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \lt 0$ までは分からずとも、$\gamma\lt\dfrac{\pi}{2}$ まで分かれば部分点は貰えるはずです。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2021年 第5問）の解説をしました。