東京大学 理系数学 2021年 第1問 解説

今回は、東京大学理系数学（2021年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　$a,b$ を実数とする。座標平面上の放物線
$$C:\quad y=x^2+ax+b$$は放物線 $y=-x^2$ と $2$ つの共有点を持ち，一方の共有点の $x$ 座標は $-1\lt x\lt 0$ を満たし，他方の共有点の $x$ 座標は $0\lt x\lt 1$ を満たす。

⑴　点 $(a,b)$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

⑵　放物線 $C$ の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。

（東京大学）

解答

⑴

$y=x^2+ax+b$ と $y=-x^2$ から $y$ を消去すると
$$\begin{eqnarray}
x^2+ax+b &=& -x^2 \\
\therefore\quad 2x^2+ax+b &=& 0\quad\cdots\text{①}
\end{eqnarray}$$

①の解は $2$ つの放物線 $C$ と $y=-x^2$ の共有点の $x$ 座標を表すので、①の解が $-1\lt x\lt 0$ と $0\lt x\lt 1$ の範囲に $1$ つずつ存在するときに $a,b$ が満たすべき条件を考える。

①の左辺を $f(x)$ とおくと、①の解が $-1\lt x\lt 0$ と $0\lt x\lt 1$ の範囲に $1$ つずつ存在するのは
$$f(-1)\gt 0 \ \text{かつ} \ f(0)\lt 0 \ \text{かつ} \ f(1)\gt 0$$のときである。

$f(-1)\gt 0$ より
$$2-a+b \gt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad b \gt a-2$$$f(0)\lt 0$ より
$$b \lt 0$$$f(1)\gt 0$ より
$$2+a+b \gt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad b \gt -a-2$$

よって
$$b \gt a-2 \ \text{かつ} \ b \lt 0 \ \text{かつ} \ b \gt -a-2 \quad\cdots\text{②}$$

したがって、点 $(a,b)$ のとりうる範囲は下図の網掛け部分である。ただし、境界は含まない。

⑵

⑴で求めた点 $(a,b)$ の範囲を $D$ とする。

放物線 $C$ の通りうる範囲に点 $(X,Y)$ が含まれるとき、$Y=X^2+aX+b$ かつ②をみたすような実数 $a,b$ が存在する。

これは「 $ab$ 平面上において、直線 $b=-Xa+Y-X^2 \ \cdots\text{③}$ が領域 $D$ と共有点をもつ」$\cdots\text{④}$ ことと同値である。

領域 $D$ は $b$ 軸に関して対称である。

また
$$-Xa+Y-X^2=-\{-(-X)\}a+Y-\{-(-X)\}^2$$より、$2$ 直線 $b=-Xa+Y-X^2$ と $b=-(-X)a+Y-(-X)^2$ も $b$ 軸に関して対称である。

よって対称性より、直線③の傾きが $0$ 以上、すなわち $-X\geqq 0$ の場合のみを考えればよい。

ここで、③の右辺を $g(a)$ とおく。

(ⅰ)　$0\leqq -X \leqq 1$ すなわち $-1\leqq X \leqq 0$ のとき

(ⅱ)　$1\leqq -X$ すなわち $X\leqq -1$ のとき

(ⅰ),(ⅱ)と対称性より、放物線 $C$ の通りうる範囲は下図の網掛け部分である。ただし、境界は含まない。

解説

⑴は練習問題などで解いたことがある人もいると思いますが、今一度何をやっているのか確認しましょう。

曲線の方程式が $2$ つあるからなんとなく $y$ を消去していませんか？求まった解 $x$ は $2$ 曲線の交点の $x$ 座標を表しています。
$2$ 次方程式の解の配置問題、なんとなく条件を与えていませんか？その条件が本当に必要十分条件になっているのか、放物線の軸や開き具合をいろいろ考えて、過不足のないように注意しましょう。

⑵は苦手とする人も多い「通過領域」の問題です。実は私も苦手です(笑)。
今回は⑴で点 $(a,b)$ の存在範囲を図示したので、流れに乗って「逆像法」により求めました。つまり「ある点 $(X,Y)$ が $C$ の通過領域に属するならば、$Y=X^2+aX+b$ をみたすような実数 $a,b$ の組 $(a,b)$ が⑴の範囲内に存在する」という方法ですね。

通過領域の問題は「順像法」と「逆像法」どちらでも解ける問題が多いので、両方で解けるようにしておくと安心かもしれません。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2021年 第1問）の解説をしました。