数学過去問解説

大阪大学 理系数学 2021年 第4問 解説

ゆーきち
ゆーきち
こんにちは、ゆーきちです!

今回は、大阪大学理系数学(2021年 第4問)の解説をしたいと思います。

問題

 整数 $a,b,c$ に関する次の条件 $(*)$ を考える.

$$\displaystyle\int_{a}^{c}(x^2+bx)dx = \displaystyle\int_{b}^{c}(x^2+ax)dx \quad\cdots\cdots (*)$$

⑴ 整数 $a,b,c$ が $(*)$ および $a\ne b$ をみたすとき,$c$ は $3$ の倍数であることを示せ.

⑵ $c=3600$ のとき,$(*)$ および $a\lt b$ をみたす整数の組 $(a,b)$ の個数を求めよ.

(大阪大学)

解答

条件 $(*)$ より
$$\begin{eqnarray}
\left[ \dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{b}{2}x^2 \right]_a^c &=& \left[ \dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{a}{2}x^2 \right]_b^c \\
\dfrac{c^3}{3}+\dfrac{bc^2}{2}-\dfrac{a^3}{3}-\dfrac{a^2b}{2} &=& \dfrac{c^3}{3}+\dfrac{ac^2}{2}-\dfrac{b^3}{3}-\dfrac{ab^2}{2} \\
3bc^2-2a^3-3a^2b &=& 3ac^2-2b^3-3ab^2
\end{eqnarray}$$$$\begin{eqnarray}
3(a-b)c^2 &=& -2(a^3-b^3)-3ab(a-b) \\
3c^2 &=& -2(a^2+ab+b^2)-3ab \ \text{(}\because a\ne b \ \text{)} \\
&=& -2a^2-5ab-2b^2 \\
\therefore\quad 3c^2 &=& -(2a+b)(a+2b) \quad\cdots\text{①}
\end{eqnarray}$$

①より、左辺は $3$ の倍数なので右辺も $3$ の倍数となる。すなわち、$2a+b$ と $a+2b$ の少なくとも一方が $3$ の倍数である。

一方、$(2a+b)+(a+2b)=3(a+b)$ より $2$ つの和が $3$ の倍数なので、$2a+b$ と $a+2b$ のどちらか一方のみが $3$ の倍数であることはない。

よって、$2a+b$ と $a+2b$ はどちらも $3$ の倍数であり、$(2a+b)(a+2b)$ は $9$ の倍数となる。

したがって、①より $c^2$ は $3$ の倍数となるので、$c$ は $3$ の倍数である。$$\tag{証明終}$$

$a\lt b$ より $a\ne 0$ なので、条件 $(*)$ は①と同値である。

$3600=2^4\cdot 3^2\cdot 5^2$ より
$$-(2a+b)(a+2b) = 2^8 \cdot 3^5 \cdot 5^4 \quad\cdots\text{②}$$をみたす整数の組 $(a,b)$ の個数を求めればよい。

$a\lt b$ より $2a+b \lt a+2b \ \cdots\text{③}$ である。

また、$2a+b$ と $a+2b$ が同符号の場合、②の左辺は負となり矛盾する。したがって $2a+b$ と $a+2b$ は異符号であり、③と合わせると
$$2a+b \lt 0 \lt a+2b \ \cdots\text{④}$$となる。

⑴より $2a+b$ と $a+2b$ はどちらも $3$ の倍数なので、②をみたす整数の組 $(2a+b, \ a+2b)$ は、$0\leqq p \leqq 8, \ $$0\leqq q \leqq 3, \ $$0\leqq r \leqq 4$ をみたす整数 $p,q,r$ を用いて
$$\begin{pmatrix}
2a+b \\
a+2b \\
\end{pmatrix}
=3\begin{pmatrix}
-2^p \cdot 3^q \cdot 5^r \\
2^{8-p} \cdot 3^{3-q} \cdot 5^{4-r} \\
\end{pmatrix}$$と表せる。これを解くと
$$\begin{pmatrix}
a \\
b \\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
-(2^{p+1} \cdot 3^{q} \cdot 5^{r}+2^{8-p} \cdot 3^{3-q} \cdot 5^{4-r}) \\
2^{p} \cdot 3^{q} \cdot 5^{r}+2^{9-p} \cdot 3^{3-q} \cdot 5^{4-r} \\
\end{pmatrix}$$となり、整数の組 $(a,b)$ と $(p,q,r)$ は $1$ 対 $1$ 対応する。

したがって、求める整数の組 $(a,b)$ の個数は
$$9 \cdot 4 \cdot 5 = \mathbf{180(}\boldsymbol{個}\mathbf{)}$$

答え

$$\boldsymbol{180} \ \boldsymbol{個}$$

解説

⑴は、①の右辺が $3$ の倍数となるところまでは示せると思います。
そこから $2a+b, \ a+2b$ がともに $3$ の倍数であることを示すのは、解答の方法以外では、$a\equiv 0,1,2 \pmod 3$ と $1$ つ $1$ つ確かめる方法があります。

⑵は、②の左辺に $-$ があるのが気持ち悪いですが、$a\lt b$ からうまく絞り込みましょう。

最後のところで $(a,b)$ と $(p,q,r)$ が $1$ 対 $1$ 対応するのが納得できない人もいるかもしれません。和の形なので $(p,q,r)$ が違っても結果的に同じ $(a,b)$ になる場合があるのでは?と思いますよね。
でも実はあり得ません。その理由を説明します。

$\left\{ \begin{eqnarray} 2a+b &=& s \\ a+2b &=& t \end{eqnarray} \right.$ とおくと、$\left\{ \begin{eqnarray} a &=& \dfrac{2s-t}{3} \\ b &=& \dfrac{2t-s}{3} \end{eqnarray} \right. \ \cdots(**)$ となります。
素因数分解の一意性から、$(p,q,r)$ を決めると $(s,t)$ も自動的に決まり、これらは $1$ 対 $1$ 対応します。
ここで、$(s,t)=(s_1,t_1), \ (s_2,t_2)$ という $2$ つの組をそれぞれ $(**)$ に代入して同じ $(a,b)$ が求まったと仮定すると
$$\begin{align}
&\left\{
\begin{aligned}
\dfrac{2s_1-t_1}{3} &= \dfrac{2s_2-t_2}{3} \\
\dfrac{2t_1-s_1}{3} &= \dfrac{2t_2-s_2}{3}
\end{aligned}
\right. \\
\Longleftrightarrow \quad &\left\{
\begin{aligned}
2(s_1-s_2) &= t_1-t_2 \\
s_1-s_2 &= 2(t_1-t_2)
\end{aligned}
\right. \\
\Longleftrightarrow \quad &s_1-s_2=4(s_1-s_2) \\
\Longleftrightarrow \quad &s_1-s_2=0 \\
\Longleftrightarrow \quad &t_1-t_2=0
\end{align}$$となり、$(s_1,t_1)=(s_2,t_2)$ だと分かります。つまり、異なる $(s,t)$ から同じ $(a,b)$ が得られることなく、これらは $1$ 対 $1$ 対応しています。
したがって、$(a,b)$ と $(p,q,r)$ は $1$ 対 $1$ 対応している、という訳です。

解答にここまで書かなくても問題はないでしょうが、$1$ 対 $1$ 対応の証明方法の $1$ つとして知っておいても良いと思います。

まとめ

今回は、大阪大学理系数学(2021年 第4問)の解説をしました。

ゆーきち
ゆーきち
今回も最後まで読んでいただき、ありがとうございました!