大阪大学 理系数学 2022年 第2問 解説

今回は、大阪大学理系数学（2022年 第2問）の解説をしたいと思います。

問題

　$\alpha=\dfrac{2\pi}{7}$ とする．以下の問いに答えよ．

⑴　$\cos 4\alpha = \cos 3\alpha$ であることを示せ．

⑵　$f(x)=8x^3+4x^2-4x-1$ とするとき，$f(\cos\alpha)=0$ が成り立つことを示せ．

⑶　$\cos\alpha$ は無理数であることを示せ．

（大阪大学）

解答

⑴

$\alpha=\dfrac{2\pi}{7}$ より $7\alpha=2\pi$ であるから
$$\begin{eqnarray}
\cos 4\alpha&=&\cos (7\alpha-3\alpha) \\
&=& \cos (2\pi-3\alpha) \\
&=& \cos 3\alpha
\end{eqnarray}$$$$\tag{証明終}$$

⑵

$x=\cos\alpha$ とおくと
$$\begin{eqnarray}
\cos 4\alpha &=& \cos (2\cdot 2\alpha) \\
&=& 2\cos^2 2\alpha -1 \\
&=& 2\left( 2\cos^2 \alpha-1 \right)^2-1 \\
&=& 8\cos^4\alpha-8\cos^2\alpha+1 \\
&=& 8x^4-8x^2+1 \\[0.5em]
\cos 3\alpha &=& 4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \\
&=& 4x^3-3x
\end{eqnarray}$$

⑴より$$\begin{eqnarray}
8x^4-8x^2+1&=&4x^3-3x \\
8x^4-4x^3-8x^2+3x+1&=&0 \\
(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)&=&0
\end{eqnarray}$$$x=\cos\alpha\ne 1$ より
$$8x^3+4x^2-4x-1=0$$

よって
$$f(\cos\alpha)=0$$$$\tag{証明終}$$

⑶

解法1

$\cos\alpha$ が有理数であると仮定すると、$0\lt\alpha=\dfrac{2\pi}{7}\lt\dfrac{\pi}{3}$ より $\dfrac{1}{2}\lt\cos\alpha\lt 1$ であるから、互いに素な自然数 $p,q$ を用いて
$$\left\{
\begin{array}{l}
2\cos\alpha=\dfrac{q}{p} & \cdots \text{①} \\
1\lt2\cos\alpha\lt 2 & \cdots \text{②}
\end{array}
\right.$$と表される。

⑵より
$$\begin{eqnarray}
8\cos^3\alpha+4\cos^2\alpha-4\cos\alpha-1=0 \\
(2\cos\alpha)^3+(2\cos\alpha)^2-2\cdot 2\cos\alpha -1=0
\end{eqnarray}$$①より
$$\left(\dfrac{q}{p}\right)^3+\left(\dfrac{q}{p}\right)^2-2\dfrac{q}{p} -1=0$$両辺に $p^2$ をかけると
$$\begin{array}{l}
\dfrac{q^3}{p}+q^2-2pq-p^2 = 0 \\
\dfrac{q^3}{p} = p^2+2pq-q^2 \quad \cdots \text{③}
\end{array}$$

③において、右辺は整数なので左辺も整数となる。$p$ と $q$ は互いに素な自然数だから、$p=1$ である。

よって、①より $2\cos\alpha$ は整数となるが、これは②と矛盾する。

したがって、$\cos\alpha$ は無理数である。$$\tag{証明終}$$

解法2

$\cos\alpha$ が有理数であると仮定すると、$0\lt\alpha=\dfrac{2\pi}{7}\lt\dfrac{\pi}{2}$ より $0\lt\cos\alpha\lt 1$ であるから、互いに素な自然数 $p,q$ を用いて
$$\cos\alpha=\dfrac{q}{p}$$と表される。

⑵より
$$\begin{eqnarray}
8\cos^3\alpha+4\cos^2\alpha-4\cos\alpha-1=0 \\
8\left(\dfrac{q}{p}\right)^3+4\left(\dfrac{q}{p}\right)^2-4\dfrac{q}{p}-1=0\quad \cdots \text{④}
\end{eqnarray}$$④の両辺に $p^2$ をかけると
$$\begin{array}{l}
\dfrac{8q^3}{p}+4q^2-4pq-p^2=0 \\
\dfrac{8q^3}{p}=-4q^2+4pq+p^2 \quad \cdots \text{⑤}
\end{array}$$また、④の両辺に $\dfrac{p^3}{q}$ をかけると
$$\begin{array}{l}
8q^2+4pq-4p^2-\dfrac{p^3}{q}=0 \\
\dfrac{p^3}{q}=8q^2+4pq-4p^2 \quad \cdots \text{⑥}
\end{array}$$

⑥において、右辺は整数なので左辺も整数となる。$p$ と $q$ は互いに素な自然数だから、$q=1$ である。

⑤に $q=1$ を代入すると
$$\dfrac{8}{p}=-4+4p+p^2 \quad \cdots \text{⑦}$$

⑦において、右辺は整数なので左辺も整数となる。このとき $p$ は $8$ の約数でなければならないので、$p$ は $1,2,4,8$ のいずれかである。

以上より、$\dfrac{q}{p}$ は $1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8}$ のいずれかとなるが、そのいずれも④を満たさず、矛盾する。

したがって、$\cos\alpha$ は無理数である。$$\tag{証明終}$$

解説

⑶は無理数であることの証明なので、背理法を使います。

「解法1」は「 $2\cos\alpha$ が $1$ より大きく $2$ 未満の整数となる」という矛盾を導く、エレガントな解法です。思いつけば簡単ですが、いきなり $2\cos\alpha$ について考えるという発想が難しいです。

そのため、初見で解く場合は「解法2」のように $\cos\alpha=\dfrac{q}{p}$ とおくのが自然な発想でしょうか。両辺が整数というところから $p,q$ の候補を絞る方法は頭の片隅に置いておいても良いかもしれません。

まとめ

今回は、大阪大学理系数学（2022年 第2問）の解説をしました。