一橋大学 数学 2022年 第5問 解説

今回は、一橋大学数学（2022年 第5問）の解説をしたいと思います。

問題

　中身の見えない $2$ つの箱があり，$1$ つの箱には赤玉 $2$ つと白玉 $1$ つが入っており，もう $1$ つの箱には赤玉 $1$ つと白玉 $2$ つが入っている。どちらかの箱を選び，選んだ箱の中から玉を $1$ つ取り出して元に戻す，という操作を繰り返す。

⑴　$1$ 回目は箱を無作為に選び，$2$ 回目以降は，前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱，前回取り出した玉が白玉なら前回とは異なる箱を選ぶ。$n$ 回目に赤玉を取り出す確率 $p_n$ を求めよ。

⑵　$1$ 回目は箱を無作為に選び，$2$ 回目以降は，前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱，前回取り出した玉が白玉なら箱を無作為に選ぶ。$n$ 回目に赤玉を取り出す確率 $q_n$ を求めよ。

（一橋大学）

解答

⑴

赤玉 $2$ つと白玉 $1$ つが入った箱を箱 $\mathrm{A}$，赤玉 $1$ つと白玉 $2$ つが入った箱を箱 $\mathrm{B}$ とし、$n$ 回目に箱 $\mathrm{A}$，箱 $\mathrm{B}$ を選ぶ確率をそれぞれ $a_n$，$b_n$ とすると
$$a_n+b_n=1 \quad\cdots\text{①}$$

$(n+1)$ 回目に箱 $\mathrm{A}$ を選ぶのは、$n$ 回目に箱 $\mathrm{A}$ を選んで赤玉を取り出したとき、または $n$ 回目に箱 $\mathrm{B}$ を選んで白玉を取り出したときなので
$$\begin{align}
a_{n+1} &= \dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{2}{3}b_n \\
&= \dfrac{2}{3}(a_n+b_n) \\
&= \dfrac{2}{3} \ \text{（}\because\text{①）}
\end{align}$$

よって、$n\geqq2$ のとき
$$a_n=\dfrac{2}{3},\quad b_n=1-a_n=\dfrac{1}{3}$$

したがって、$n\geqq2$ のとき
$$\begin{align}
p_n &= \dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}b_n \\
&= \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3} \\
&= \dfrac{5}{9}
\end{align}$$

また
$$p_1=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$$

したがって
$$p_n=\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{\dfrac{1}{2}} \ \mathbf{\text{（}}\,\boldsymbol{n=1}\,\mathbf{\text{のとき）}} \\
\boldsymbol{\dfrac{5}{9}} \ \mathbf{\text{（}}\,\boldsymbol{n\geqq2}\,\mathbf{\text{のとき）}}
\end{array}\right.$$

⑵

$(n+1)$ 回目に箱 $\mathrm{A}$ を選ぶのは、$n$ 回目に箱 $\mathrm{A}$ を選んで赤玉を取り出すか、白玉を取り出して箱 $\mathrm{A}$ を選んだとき、または $n$ 回目に箱 $\mathrm{B}$ を選んで白玉を取り出して箱 $\mathrm{A}$ を選んだときなので
$$\begin{align}
a_{n+1} &= \left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\right)a_n+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}b_n \\
&= \dfrac{5}{6}a_n+\dfrac{1}{3}b_n \\
&= \dfrac{5}{6}a_n+\dfrac{1}{3}(1-a_n) \ \text{（}\because\text{①）} \\
&= \dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{3} \\[0.3em]
a_{n+1}-\dfrac{2}{3} &= \dfrac{1}{2}\left(a_n-\dfrac{2}{3}\right) \\[0.3em]
a_n-\dfrac{2}{3} &= \left(a_1-\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\
&= \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\
&= -\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n
\end{align}$$

よって
$$\begin{align}
a_n &= \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n, \\
b_n &= 1-a_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n
\end{align}$$であるから
$$\begin{align}
q_n &= \dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}b_n \\
&= \dfrac{2}{3}\left\{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}+\dfrac{1}{3}\left\{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\} \\
&= \boldsymbol{\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}
\end{align}$$

解説

$n$ 回目に関する確率は「直接求める」か「確率漸化式を使う」かの $2$ 択で、今回は $p_n$ や $q_n$ が「$\,(n-1)$ 回目に取り出した箱と玉の色に依存する」という性質上、後者を選ぶことになります。

赤玉を取り出す確率 $p_n$ と白玉を取り出す確率 $1-p_n$ をそれぞれ「箱 $\mathrm{A}$ から取り出す確率」と「箱 $\mathrm{B}$ から取り出す確率」にさらに細分化して、合計 $4$ つの確率に関する漸化式を立てることもできますが、計算が煩雑になります。

そこでこの問題では、赤玉を取り出す確率を直接求めるよりも、先にどちらの箱を選ぶのかの確率を求める方がラクになります。

まとめ

今回は、一橋大学数学（2022年 第5問）の解説をしました。