神戸大学 理系数学 2021年[後期] 第2問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2021年後期 第2問）の解説をしたいと思います。

問題

$a,b$ を $4$ 以上の整数とする．$a$ 個の赤球と $b$ 個の白球が入っている袋から $k$ 個の球を同時に取り出すとき，取り出された球がすべて同じ色である確率を $p_k$ とする．以下の問に答えよ．

⑴　$n=a+b, \ s=ab$ とする．$1-p_2, \ 1-p_3$ を $n,s$ を用いて表せ．

⑵　$p_2=\dfrac{1}{2}$ とする．
　(ⅰ)　$p_3$ を求めよ．
　(ⅱ)　$p_4$ と $\dfrac{1}{8}$ の大小を比較せよ．

（神戸大学）

解答

⑴

$1-p_2$ は「赤球 $1$ 個と白球 $1$ 個」を取り出す確率なので
$$\begin{eqnarray}
1-p_2 &=& \dfrac{{}_a \mathrm{C}_1 \cdot {}_b \mathrm{C}_1}{{}_{a+b} \mathrm{C}_2} = \dfrac{ab}{{}_n \mathrm{C}_2} \\
&=& \boldsymbol{\dfrac{2s}{n(n-1)}}
\end{eqnarray}$$

$1-p_3$ は「赤球 $2$ 個と白球 $1$ 個」または「赤球 $1$ 個と白球 $2$ 個」を取り出す確率なので
$$\begin{eqnarray}
1-p_3 &=& \dfrac{{}_a \mathrm{C}_2 \cdot {}_b \mathrm{C}_1+{}_a \mathrm{C}_1 \cdot {}_b \mathrm{C}_2}{{}_{a+b} \mathrm{C}_3} \\
&=& \dfrac{\dfrac{a(a-1)b}{2}+\dfrac{ab(b-1)}{2}}{{}_n \mathrm{C}_3} \\
&=& \dfrac{3ab(a+b-2)}{n(n-1)(n-2)} \\
&=& \dfrac{3s(n-2)}{n(n-1)(n-2)} \\
&=& \boldsymbol{\dfrac{3s}{n(n-1)}}
\end{eqnarray}$$

⑵

(ⅰ)

$p_2=\dfrac{1}{2}$ なので、⑴より
$$\begin{eqnarray}
\dfrac{2s}{n(n-1)} &=& \dfrac{1}{2} \\
\therefore\quad s &=& \dfrac{n(n-1)}{4} \quad\cdots\text{①}
\end{eqnarray}$$

よって、⑴より
$$\begin{eqnarray}
1-p_3 &=& \dfrac{3s}{n(n-1)}=\dfrac{n(n-1)}{4}\cdot\dfrac{3}{n(n-1)}=\dfrac{3}{4} \\
\therefore\quad p_3 &=& \boldsymbol{\dfrac{1}{4}}
\end{eqnarray}$$

(ⅱ)

$1-p_4$ は「赤球 $3$ 個と白球 $1$ 個」または「赤球 $2$ 個と白球 $2$ 個」または「赤球 $1$ 個と白球 $3$ 個」を取り出す確率なので
$$\begin{eqnarray}
1-p_4 &=& \dfrac{{}_a \mathrm{C}_3 \cdot {}_b \mathrm{C}_1+{}_a \mathrm{C}_2 \cdot {}_b \mathrm{C}_2+{}_a \mathrm{C}_1 \cdot {}_b \mathrm{C}_3}{{}_{a+b} \mathrm{C}_4} \\
&=& \dfrac{\dfrac{a(a-1)(a-2)b}{3!}+\dfrac{a(a-1)b(b-1)}{2\cdot 2}+\dfrac{ab(b-1)(b-2)}{3!}}{{}_n \mathrm{C}_4} \\
&=& \dfrac{4a(a-1)(a-2)b+6a(a-1)b(b-1)+4ab(b-1)(b-2)}{n(n-1)(n-2)(n-3)} \\
&=& \dfrac{2ab\left\{2\left(a^2+b^2\right)-9(a+b)+3ab+11\right\}}{n(n-1)(n-2)(n-3)} \\
&=& \dfrac{2s\left[2\left\{(a+b)^2-2ab\right\}-9n+3s+11\right]}{n(n-1)(n-2)(n-3)} \\
&=& \dfrac{2s\left(2n^2-9n-s+11\right)}{n(n-1)(n-2)(n-3)} \\
&=& \dfrac{2\cdot\dfrac{n(n-1)}{4} \left\{2n^2-9n-\dfrac{n(n-1)}{4}+11\right\}}{n(n-1)(n-2)(n-3)} \quad\text{（}\because\text{①）}\\
&=& \dfrac{7n^2-35n+44}{8(n-2)(n-3)}
\end{eqnarray}$$

よって、$n=a+b\geqq 8$ より
$$\begin{eqnarray}
p_4-\dfrac{1}{8} &=& \dfrac{7}{8}-\dfrac{7n^2-35n+44}{8(n-2)(n-3)} \\
&=& -\dfrac{1}{4(n-2)(n-3)}\lt 0
\end{eqnarray}$$

したがって
$$\boldsymbol{p_4\lt\dfrac{1}{8}}$$

解説

球を取り出す確率で「球の個数の和と積を使う」というあまり見ない設定の問題ですが、計算ミスに気を付ければ難問ではないと思います。

⑵(ⅱ)で具体的に $p_4$ の式を求めた場合、$p_4\lt \dfrac{1}{8}$ を示すのには別の方法もあり、以下に示します：

ちなみに⑵の設定に $p_2=\dfrac{1}{2}$ とありますが、これは例えば「赤球 $10$ 個と白玉 $6$ 個」や「赤球 $15$ 個と白玉 $10$ 個」などの場合に当てはまります。
このとき必ず $n$（球の総数）は $16$ 以上の平方数になりますが、$a,b\geqq 4$ という条件を無視すれば、「赤球 $6$ 個と白玉 $3$ 個」など $n=9$ のようなパターンもあります。いずれにせよ $n$ は平方数となります。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2021年後期 第2問）の解説をしました。