京都大学 理系数学 2020年 第4問 解説

今回は、京都大学理系数学（2020年 第4問）の解説をしたいと思います。

問題

　正の整数 $a$ に対して，
$$a=3^bc \ \text{（}\,b,c \ \text{は整数で} \ c \ \text{は} \ 3 \ \text{で割り切れない）}$$の形に書いたとき，$B(a)=b$ と定める．例えば，$B(3^2\cdot5)=2$ である．

　$m,n$ は整数で，次の条件を満たすとする．
(ⅰ)　$1\leqq m\leqq30.$
(ⅱ)　$1\leqq n\leqq30.$
(ⅲ)　$n$ は $3$ で割り切れない．
このような $(m,n)$ について
$$f(m,n)=m^3+n^2+n+3$$とするとき，
$$A(m,n)=B(f(m,n))$$の最大値を求めよ．また，$A(m,n)$ の最大値を与えるような $(m,n)$ をすべて求めよ．

（京都大学）

解答

合同式については、$3$ を法とするものとする。

$A(m,n)$ は $f(m,n)$ が $3$ で最大何回割り切れるかを表している。

(Ⅰ)　$n\equiv1$ のとき

・$m\equiv0$ のとき
$$\begin{align}
f(m,n) &\equiv 0+1+1+3\equiv2 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &= 0
\end{align}$$・$m\equiv1$ のとき
$$\begin{align}
f(m,n) &\equiv 1+1+1+3\equiv0 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &\geqq 1
\end{align}$$・$m\equiv2$ のとき
$$\begin{align}
f(m,n) &\equiv 8+1+1+3\equiv1 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &= 0
\end{align}$$

$m\equiv1$ のときを考えて
$$\begin{align}
&n=3n_1+1,\quad m=3m_1+1 \\
&(n_1=0,1,2,\cdots,9,\quad m_1=0,1,2,\cdots,9)
\end{align}$$とおくと
$$\begin{align}
f(m,n) &= 27{m_1}^3+27{m_1}^2+9m_1+9{n_1}^2+9n_1+6 \\
&= 3(9{m_1}^3+9{m_1}^2+3m_1+3{n_1}^2+3n_1+2) \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &= 1
\end{align}$$

(Ⅱ)　$n\equiv2$ のとき

・$m\equiv0$ のとき
$$\begin{align}
f(m,n) &\equiv 0+4+2+3\equiv0 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &\geqq 1
\end{align}$$・$m\equiv1$ のとき
$$\begin{align}
f(m,n) &\equiv 1+4+2+3\equiv1 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &= 0
\end{align}$$・$m\equiv2$ のとき
$$\begin{align}
f(m,n) &\equiv 8+4+2+3\equiv2 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &= 0
\end{align}$$

$m\equiv0$ のときを考えて
$$\begin{align}
&n=3n_2+2,\quad m=3m_2 \\
&(n_2=0,1,2,\cdots,9,\quad m_2=1,2,\cdots,10)
\end{align}$$とおくと
$$\begin{align}
f(m,n) &= 27{m_2}^3+9{n_2}^2+15n_2+9 \\
&= 3(9{m_2}^3+3{n_2}^2+5n_2+3)
\end{align}$$

$9{m_2}^3+3{n_2}^2+3$ は $3$ の倍数であり、$5n_2$ の係数 $5$ は $3$ と互いに素なので、$n_2\equiv0$ のとき $A(m,n)\geqq2$，$n_2\equiv1,2$ のとき $A(m,n)=1$ である。

$n_2\equiv0$ のときを考えて
$$n_2=3n_3\quad(n_3=0,1,2,3)$$とおくと
$$\begin{align}
f(m,n) &= 3(9{m_2}^3+27{n_3}^2+15n_3+3) \\
&= 9(3{m_2}^3+9{n_3}^2+5n_3+1)
\end{align}$$

・$n_3\equiv0$ のとき
$$\begin{align}
5n_3+1 &\equiv 1 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &= 2
\end{align}$$・$n_3\equiv1$ のとき
$$\begin{align}
5n_3+1 &\equiv 0 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &\geqq 3
\end{align}$$・$n_3\equiv2$ のとき
$$\begin{align}
5n_3+1 &\equiv 2 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &= 2
\end{align}$$

よって、$A(m,n)$ が最大となるのは $n_3\equiv1$ すなわち $n_3=1$ のときである。

このとき
$$\begin{align}
f(m,n) &= 9(3{m_2}^3+9+5+1) \\
&= 27({m_2}^3+5)
\end{align}$$

・$m_2\equiv0$ のとき
$$\begin{align}
{m_2}^3+5 &\equiv 2 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &= 3
\end{align}$$・$m_2\equiv1$ のとき
$$\begin{align}
{m_2}^3+5 &\equiv 0 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &\geqq 4
\end{align}$$・$m_2\equiv2$ のとき
$$\begin{align}
{m_2}^3+5 &\equiv 1 \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &= 3
\end{align}$$

$m_2\equiv1$ のときを考えて
$$m_2=3m_3+1\quad(m_3=0,1,2,3)$$とおくと
$$\begin{align}
f(m,n) &= 27(27{m_3}^3+27{m_3}^2+9m_3+6) \\
&= 81(9{m_3}^3+9{m_3}^2+3m_3+2) \\[0.3em]
\therefore \ A(m,n) &= 4
\end{align}$$

(Ⅰ),(Ⅱ)より、$A(m,n)$ の最大値は $\mathbf{4}$ である。

$A(m,n)$ の最大値を与えるような $(m,n)$ について
$$\begin{align}
m &= 3m_2 \\
&= 3(3m_3+1) \ \text{（}\because m_2=m_3+1\,\text{）} \\
&= 3,12,21,30 \ \text{（}\because m_3=0,1,2,3\,\text{）} \\[0.5em]
n &= 3n_2+2 \\
&= 3\cdot3n_3+2 \ \text{（}\because n_2=3n_3\,\text{）} \\
&= 11 \ \text{（}\because n_3=1\,\text{）}
\end{align}$$より
$$(m,n)=\mathbf{(3,11)},\,\mathbf{(12,11)},\,\mathbf{(21,11)},\,\mathbf{(30,11)}$$

解説

問題文から $B(a)$ は「$\,a$ が $3$ で最大何回割り切れるか」あるいは「$\,a$ を素因数分解したときの $3$ の個数」を表しているということに気づくのが最初のステップです。

$f(m,n)$ は因数分解ができないので、$m$ や $n$ を $3$ で割った余りで分類して順次値を代入していきます。

記述量が多くなりがちなので、解答のように $\mathrm{mod}$ を使うか、$A(m,n)$ が大きくなるようにパターンを絞っていくのが良いと思います。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2020年 第4問）の解説をしました。