神戸大学 理系数学 2021年 第3問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2021年 第3問）の解説をしたいと思います。

問題

$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{\vphantom{b} a}, \ \overrightarrow{b}$ が垂直であるとする．$\overrightarrow{\vphantom{b}a}+\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{\vphantom{b}a}+3\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta \ (0\leqq\theta\leqq\pi)$ とする．以下の問に答えよ．

⑴　$| \ \overrightarrow{\vphantom{b}a} \ |=x, \ | \ \overrightarrow{b} \ |=y$ とするとき，$\sin^2\theta$ を $x,y$ を用いて表せ．

⑵　$\theta$ の最大値を求めよ．

（神戸大学）

解答

⑴

$\overrightarrow{\vphantom{b}a}\perp\overrightarrow{b}$ より $\overrightarrow{\vphantom{b}a}\cdot\overrightarrow{b}=0$ である。

また
$$\begin{align}
| \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+\overrightarrow{b} \ |^2
&= ( \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+\overrightarrow{b} \ )\cdot( \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+\overrightarrow{b} \ ) \\
&= x^2+y^2 \\[0.3em]
| \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+3\overrightarrow{b} \ |^2
&= ( \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+3\overrightarrow{b} \ )\cdot( \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+3\overrightarrow{b} \ ) \\
&= x^2+9y^2
\end{align}$$となる。

したがって
$$\begin{align}
\sin^2\theta &= 1-\cos^2\theta \\
&= 1-\left\{\dfrac{( \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+\overrightarrow{b} \ )\cdot( \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+3\overrightarrow{b} \ )}{| \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+\overrightarrow{b} \ || \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+3\overrightarrow{b} \ |}\right\}^2 \\
&= 1-\dfrac{(x^2+3y^2)^2}{(x^2+y^2)(x^2+9y^2)} \\[0.1em]
&= \dfrac{x^4+10x^2y^2+9y^4-(x^4+6x^2y^2+9y^4)}{x^4+10x^2y^2+9y^4} \\[0,1em]
&= \boldsymbol{\dfrac{4x^2y^2}{x^4+10x^2y^2+9y^4}}
\end{align}$$

⑵

$$\begin{align}
\cos\theta &= \dfrac{( \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+\overrightarrow{b} \ )\cdot( \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+3\overrightarrow{b} \ )}{| \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+\overrightarrow{b} \ || \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+3\overrightarrow{b} \ |} \\
&= \dfrac{x^2+3y^2}{| \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+\overrightarrow{b} \ || \ \overrightarrow{\vphantom{b}a}+3\overrightarrow{b} \ |} \geqq 0
\end{align}$$より、$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2} \quad\cdots\text{①}$ である。

また、$x\gt 0, \ y\gt 0$ より
$$\dfrac{x}{y}=k \ \text{（}\gt 0 \ \text{）}$$とおくと、⑴の結果より
$$\begin{align}
\sin^2\theta &= \dfrac{4x^2y^2}{x^4+10x^2y^2+9y^4} \\
&= \dfrac{4}{\dfrac{x^2}{y^2}+10+9\cdot\dfrac{y^2}{x^2}} \\
&= \dfrac{4}{k^2+\dfrac{9}{k^2}+10}
\end{align}$$となる。

ここで、$k^2\gt 0, \ $$\dfrac{9}{k^2}\gt 0$ なので、相加・相乗平均の大小関係により
$$k^2+\dfrac{9}{k^2}\geqq 2\sqrt{k^2\cdot\dfrac{9}{k^2}}=6$$が成り立つ。ただし、不等号の等号が成立するのは $k^2=\dfrac{9}{k^2}$ のとき、すなわち $k\gt 0$ に注意すると $k=\sqrt{3}$（ $x=\sqrt{3}y$ ）のときである。

よって
$$\begin{align}
\sin^2\theta &= \dfrac{4}{k^2+\dfrac{9}{k^2}+10} \\
&\leqq \dfrac{4}{6+10} \\
&= \dfrac{1}{4}
\end{align}$$となり、①の範囲でこれを解くと
$$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{6}$$となる。

以上より、$\theta$ の最大値は $\boldsymbol{\dfrac{\pi}{6}}$ である。

解説

ベクトルの基本的な演算ができるかを問う問題です。

⑵は、⑴の $\sin^2\theta$ を利用しますが、$\theta$ の範囲を $0\leqq\theta\leqq\pi$ としたまま考えても、$\theta$ の最大値を求めることはできません（ $\sin^2\theta$ の値 $1$ つに対して、$\theta$ が $2$ つ決まることがあるため）。

そこで、$\cos\theta$ がどの範囲の値をとりうるのかを考え、$\sin^2\theta$ と $\theta$ が $1$ 対 $1$ 対応するように範囲をしぼるのがポイントです。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2021年 第3問）の解説をしました。