神戸大学 理系数学 2021年 第2問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2021年 第2問）の解説をしたいと思います。

問題

次の定積分を求めよ．

⑴　$I=\displaystyle\int_{0}^{1}x^2\sqrt{1-x^2}dx$

⑵　$J=\displaystyle\int_{0}^{1}x^3\log(x^2+1)dx$

（神戸大学）

解答

⑴

$x=\sin \theta$ とおくと
$$dx=\cos\theta \ d\theta \qquad
\begin{array}{c|c} \hline
x & 0 \to 1 \\
\hline
\theta & 0 \to \dfrac{\pi}{2} \\
\hline
\end{array}$$より
$$\begin{align}
I &= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\sqrt{1-\sin^2\theta}\cdot \cos\theta \ d\theta \\
&= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cos^2\theta \ d\theta \\
&\hphantom{=} \ \left(\because0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2} \ \text{で} \ \cos\theta\geqq 0\right) \\
&= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\sin 2\theta\right)^2d\theta \\
&= \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^22\theta \ d\theta \\
&= \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1-\cos 4\theta}{2}d\theta \\
&= \dfrac{1}{8}\left[\theta-\dfrac{1}{4}\sin 4\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \boldsymbol{\dfrac{\pi}{16}}
\end{align}$$

⑵

$$\begin{align}
J &= \left[\dfrac{x^4}{4}\log(x^2+1)\right]_0^1-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^4}{4}\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}dx \\
&= \dfrac{1}{4}\log 2-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^5}{x^2+1}dx
\end{align}$$

ここで
$$\begin{align}
\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^5}{x^2+1}dx &= \displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^3-x+\dfrac{x}{x^2+1}\right)dx \\
&= \left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}\log(x^2+1)\right]_0^1 \\
&= -\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\log 2
\end{align}$$であるから
$$\begin{align}
J &= \dfrac{1}{4}\log 2-\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\log 2\right) \\
&= \boldsymbol{\dfrac{1}{8}}
\end{align}$$

解説

⑴は、三角関数を用いて変数変換するタイプの積分です。
倍角の公式等に注意して計算しましょう。

⑵は、部分積分をするタイプの積分です。
部分積分は符号間違いや計算ミスが起きやすいので、丁寧に解き進めましょう。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2021年 第2問）の解説をしました。