大阪大学 理系数学 2022年 第3問 解説

今回は、大阪大学理系数学（2022年 第3問）の解説をしたいと思います。

問題

　正の実数 $t$ に対し，座標平面上の $2$ 点 $\mathrm{P}(0,t)$ と $\mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{t},0\right)$ を考える．$t$ が $1 \leqq t\leqq 2$ の範囲を動くとき，座標平面内で線分 $\mathrm{PQ}$ が通過する部分を図示せよ．

（大阪大学）

解答

線分 $\mathrm{PQ}$ の方程式は
$$y=\dfrac{0-t}{\dfrac{1}{t}-0}x+t \quad (x\geqq 0, \ y\geqq 0)$$より
$$y=-t^2x+t \quad (x\geqq 0, \ y\geqq 0) \quad \cdots \text{①}$$

$x \ (\geqq 0)$ を固定し、$t$ を $1 \leqq t\leqq 2$ の範囲で動かしたときの $y$ の値域を調べる。

(ⅰ)　$x=0$ のとき
①より $y=x$ であり、$1 \leqq t\leqq 2$ より
$$1 \leqq y\leqq 2$$

(ⅱ)　$x\gt 0$ のとき
①より $y=-x\left(t-\dfrac{1}{2x}\right)^2+\dfrac{1}{4x}$（$=f(t)$ とおく）

(ア)　$2\leqq\dfrac{1}{2x}$ すなわち $x\leqq\dfrac{1}{4}$ のとき

(イ)　$\dfrac{3}{2}\leqq\dfrac{1}{2x}\lt 2$ すなわち $\dfrac{1}{4}\lt x\leqq\dfrac{1}{3}$ のとき

(ウ)　$1\leqq\dfrac{1}{2x}\lt \dfrac{3}{2}$ すなわち $\dfrac{1}{3}\lt x\leqq\dfrac{1}{2}$ のとき

(エ)　$\dfrac{1}{2x}\lt 1$ すなわち $\dfrac{1}{2}\lt x$ のとき

(ⅰ),(ⅱ)と $y \geqq 0$ より、求める領域は下図の網掛け部分である。ただし、境界線を含む。

解説

いわゆる「ファクシミリの原理」を使って解く通過領域の問題です。

どの文字を固定し、どの文字を（どこからどこまで）動かすのかをしっかりと確認しながら解き進めましょう。

2次関数の最大・最小は軸と定義域に注意しましょう。

まとめ

今回は、大阪大学理系数学（2022年 第3問）の解説をしました。