京都大学 理系数学 2019年 第6問 解説

今回は、京都大学理系数学（2019年 第6問）の解説をしたいと思います。

問題

　$i$ は虚数単位とする。$(1+i)^n+(1-i)^n\gt10^{10}$ をみたす最小の正の整数 $n$ を求めよ。

（京都大学）

※ 常用対数表を使う問題です。

解答

対数は、底を $10$ とする常用対数を表すものとする。

ド・モアブルの定理により
$$\begin{align}
(\text{左辺}) &= \left\{\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}^n+\left\{\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}^n \\[0.2em]
&= {\sqrt{2}}^{\,n}\left(\cos\dfrac{n\pi}{4}+i\sin\dfrac{n\pi}{4}\right)+{\sqrt{2}}^{\,n}\left(\cos\dfrac{n\pi}{4}-i\sin\dfrac{n\pi}{4}\right) \\[0.2em]
&= 2{\sqrt{2}}^{\,n}\cos\dfrac{n\pi}{4}
\end{align}$$であり、この値を $A$ とおくと
$$A\gt10^{10} \quad\cdots\text{①}$$となる。

ここで、$\cos\dfrac{n\pi}{4}$ の値について
・$n\equiv0\pmod{8}$ のとき $\cos\dfrac{n\pi}{4}=1$
・$n\equiv\pm1\pmod{8}$ のとき $\cos\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
・$n\equiv\pm2,\,\pm3,\,4\pmod{8}$ のとき $\cos\dfrac{n\pi}{4}\leqq0$
となるので、$A\gt0$ となるのは $n\equiv0,\,\pm1\pmod{8}$ のときである。

このとき、①と底 $10\gt1$ より
$$\log A\gt10$$となる。

(ⅰ)　$n\equiv0\pmod{8}$ のとき

$$\begin{align}
\log A &= \log(2{\sqrt{2}}^{\,n}\cdot1) \\
&= \left(\dfrac{n}{2}+1\right)\log2\gt10 \\[0.3em]
\therefore \ n &\gt \dfrac{20}{\log2}-2
\end{align}$$常用対数表より $0.3009\lt\log2\lt0.3011$ なので
$$n\gt\dfrac{20}{0.3011}-2\gt64$$

これを満たす最小の $n \ (\equiv0\pmod{8})$ は $n=72$ である。

(ⅱ)　$n\equiv\pm1\pmod{8}$ のとき

$$\begin{align}
\log A &= \log(2{\sqrt{2}}^{\,n}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}) \\
&= \log2^{1+\frac{n-1}{2}} \\
&= \dfrac{n+1}{2}\log2\gt10 \\[0.3em]
\therefore \ n &\gt \dfrac{20}{\log2}-1
\end{align}$$(ⅰ)より
$$n\gt\left(\dfrac{20}{0.3011}-2\right)+1\gt64+1=65$$

これを満たす最小の $n \ (\equiv\pm1\pmod{8})$ は $n=71$ である。

(ⅰ),(ⅱ)より、求める最小の $n$ は $n=\mathbf{71}$ である。

解説

複素数の $n$ 乗なので、まずは極形式に直してド・モアブルの定理を使う方法が思いつくでしょう。

式を整理すると $\cos\dfrac{n\pi}{4}$ が残りますが、これがそもそも $0$ より大きくなければいけないということに気づくと、$n$（を $8$ で割った余り）の候補をグッと絞ることができます。

また、$\log_{10}2$ について、常用対数表を厳密に使うなら $0.30095\leqq\log_{10}2\lt0.30304$ とはさむべきですが、今回の問題の場合、そこまで厳密にはさまなくても大丈夫です。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2019年 第6問）の解説をしました。