東京大学 理系数学 2018年 第5問 解説

今回は、東京大学理系数学（2018年 第5問）の解説をしたいと思います。

問題

　複素数平面上の原点を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とする。点 $\mathrm{P}(z)$ は $C$ 上にあり，点 $\mathrm{A}(1)$ とは異なるとする。点 $\mathrm{P}$ における円 $C$ の接線に関して，点 $\mathrm{A}$ と対称な点を $\mathrm{Q}(u)$ とする。$w=\dfrac{1}{1-u}$ とおき，$w$ と共役な複素数を $\overline{w}$ で表す。

⑴　$u$ と $\dfrac{\overline{w}}{w}$ を $z$ についての整式として表し，絶対値の商 $\dfrac{|\,w+\overline{w}-1\,|}{|\,w\,|}$ を求めよ。

⑵　$C$ のうち実部が $\dfrac{1}{2}$ 以下の複素数で表される部分を $C’$ とする。点 $\mathrm{P}(z)$ が $C’$ 上を動くときの点 $\mathrm{R}(w)$ の軌跡を求めよ。

（東京大学）

解答

⑴

$z$ の偏角を $\theta$ とおく。

(ⅰ)　$0\lt\theta\lt\pi$ のとき

円周角と中心角の関係および接弦定理により
$$\angle\mathrm{APQ}=2\cdot\dfrac{\theta}{2}=\theta.$$

$\mathrm{PA}=\mathrm{PQ}$ より、$\mathrm{Q}$ は点 $\mathrm{P}$ を中心として $\theta$ だけ回転した点である。

$\cos\theta+i\sin\theta=z$ より
$$\begin{align}
u-z &= (\cos\theta+i\sin\theta)(1-z) \\[0.3em]
\therefore \ u &= z(1-z)+z \\
&= 2z-z^2. \quad\cdots\text{①}
\end{align}$$

(ⅱ)　$\theta=\pi$ のとき

$z=-1$，$u=-3$ より、①が成り立つ。

(ⅲ)　$-\pi\lt\theta\lt0$ のとき

点 $\mathrm{P},\,\mathrm{Q}$ を実軸に関して対称移動すると、(ⅰ)と同じ状況となるので
$$\overline{u}=2\overline{z}-\overline{z}^{\,2}.$$両辺の共役な複素数を考えると、①が成り立つ。

(ⅰ)～(ⅲ)より、$u=\boldsymbol{2z-z^2}.$

ここで、$\mathrm{P}$ は $C$ 上の点なので $|\,z\,|=1$ であり、両辺を $2$ 乗すると $|\,z\,|^2=z\overline{z}=1.$

$z\ne0$ より $\overline{z}=\dfrac{1}{z}.$

$$w=\dfrac{1}{1-2z+z^2}=\dfrac{1}{(z-1)^2} \quad\cdots\text{②}$$より
$$\begin{align}
\dfrac{\overline{w}}{w} &= \dfrac{(z-1)^2}{(\overline{z}-1)^2} \\
&= \dfrac{(z-1)^2}{\left(\dfrac{1}{z}-1\right)^2} \\
&= \left\{\dfrac{z(z-1)}{1-z}\right\}^2 \\[0.2em]
&= \boldsymbol{z^2}.
\end{align}$$

さらに
$$\begin{align}
\dfrac{|\,w+\overline{w}-1\,|}{|\,w\,|} &= \left|\,1+\dfrac{\overline{w}}{w}-\dfrac{1}{w}\,\right| \\
&= |\,1+z^2-(z-1)^2\,| \\[0.2em]
&= 2|\,z\,| \\[0.2em]
&= \mathbf{2}.
\end{align}$$

別解

※ $u$ を求める別解です。

$xy$ 座標平面上で考える。$\mathrm{P}(p,\,q)$，$\mathrm{Q}(s,\,t)$ とする。

点 $\mathrm{P}$ における円 $C$ の接線（$\,\ell$ とする。）の方程式は
$$px+qy=1$$であり、線分 $\mathrm{AQ}$ の中点はこの接線上にあるので
$$\begin{align}
p\cdot\dfrac{s+1}{2}+q\cdot\dfrac{t+0}{2} &= 1 \\[0.2em]
\therefore \ ps+p+qt &= 2. \quad\cdots\text{ⓐ}
\end{align}$$

また、$\ell$ の方向ベクトルの $1$ つは $(q,\,-p)$ であり、$\ell\perp\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ なので
$$\begin{align}
(q,\,-p)\cdot(s-1,\,t) &= 0 \\[0.2em]
\therefore \ qs-q-pt &= 0. \quad\cdots\text{ⓑ}
\end{align}$$

$p^2+q^2=1$ に注意すると、ⓐ,ⓑより
$$s=1+2p-2p^2,\quad t=2q(1-p).$$

ここで
$$p=\dfrac{z+\overline{z}}{2},\quad q=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}$$であるから、複素数平面上において
$$\begin{align}
u &= s+ti \\[0.2em]
&= (1+2p-2p^2)+2q(1-p)i \\
&= 1+z+\overline{z}-\dfrac{z^2+2z\overline{z}+\overline{z}^{\,2}}{2}+(z-\overline{z})\left(1-\dfrac{z+\overline{z}}{2}\right) \\
&= 1+z+\overline{z}-\dfrac{z^2}{2}-1-\dfrac{\overline{z}^{\,2}}{2}+z-\overline{z}-\dfrac{z^2}{2}+\dfrac{\overline{z}^{\,2}}{2} \\[0.2em]
&\hphantom{=}\text{（}\because z\overline{z}=|\,z\,|^2=1\,\text{）} \\[0.3em]
&= \boldsymbol{2z-z^2}.
\end{align}$$

⑵

$w=x+yi$（$\,x,\,y$ は実数）とおくと、⑴の結果より
$$\begin{align}
|\,w+\overline{w}-1\,| &= 2|\,w\,| \\[0.2em]
\therefore \ |\,2x-1\,| &= 2\sqrt{x^2+y^2}
\end{align}$$$(\text{両辺})\gt0$ より、両辺を $2$ 乗すると
$$\begin{align}
(2x-1)^2 &= 4(x^2+y^2) \\
\therefore \ x &= \dfrac{1}{4}-y^2. \quad\cdots\text{③}
\end{align}$$したがって、点 $\mathrm{R}(w)$ の軌跡は曲線③の一部である。

点 $\mathrm{P}$ が $C’$ 上を動くとき、上図より
$$\dfrac{2}{3}\pi\leqq\arg(z-1)\leqq\dfrac{4}{3}\pi.$$

ここで、②より
$$\begin{align}
\arg w &= \arg\left\{\dfrac{1}{(z-1)^2}\right\} \\
&= -\arg(z-1)^2 \\[0.2em]
&= -2\arg(z-1)
\end{align}$$であり
$$-\dfrac{8}{3}\pi\leqq-2\arg(z-1)\leqq-\dfrac{4}{3}\pi$$なので
$$-\dfrac{2}{3}\pi\leqq\arg w\leqq\dfrac{2}{3}\pi.$$

$x\lt0$ における曲線③と直線 $y=\left\{\tan\left(\pm\dfrac{2}{3}\pi\right)\right\}x$（すなわち直線 $y=\pm\sqrt{3}x\,$）の交点の座標は $\bigg(-\dfrac{1}{2},\,\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)$ となる。

以上より、求める軌跡は、$w=x+yi$ とおいたときの放物線 $\boldsymbol{x=\dfrac{1}{4}-y^2}$ の $\boldsymbol{x\geqq-\dfrac{1}{2}}$ の部分である。

なお、これを複素数平面上に図示すると、下図の実線部のようになる。

解説

⑴は、$u$ を求めるのがいきなりの山場です。点の線対称移動を複素数で表現できるか問われています。
接線も絡んでおり、垂直・平行・三角形の合同をうまく処理して答えを求めましょう。

$u$ が求まったら、残りは基本的な複素数の計算です。

⑵は、⑴で求めた $\dfrac{|\,w+\overline{w}-1\,|}{|\,w\,|}=2$ からスタートします。

$\left|\,\dfrac{w+\overline{w}}{2}-\dfrac{1}{2}\,\right|=|\,w\,|$ すなわち $\left|\,\mathrm{Re}(w)-\dfrac{1}{2}\,\right|=|\,w\,|$ と変形して、$w$ は「直線 $x=\dfrac{1}{2}$ からの距離と原点からの距離が等しい点」なので「放物線 $x=\dfrac{1}{4}-y^2\,$」の上を動く、とも求められますが、この変形はトリッキーで見えにくいので、最初から $x+yi$ とおくのが無難だと思います。

実際に放物線のどの部分を動くかを求めるのは、少し難しいです。
この問題のように、軌跡の限界点を偏角に着目して別の式から求めるという手段は、覚えておいても良いと思います。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2018年 第5問）の解説をしました。