東京大学 理系数学 2018年 第4問 解説

今回は、東京大学理系数学（2018年 第4問）の解説をしたいと思います。

問題

　$a\gt0$ とし，
$$f(x)=x^3-3a^2x$$とおく。次の $2$ 条件をみたす点 $(a,\,b)$ の動きうる範囲を求め，座標平面上に図示せよ。

条件１：方程式 $f(x)=b$ は相異なる $3$ 実数解をもつ。

条件２：さらに，方程式 $f(x)=b$ の解を $\alpha\lt\beta\lt\gamma$ とすると $\beta\gt1$ である。

（東京大学）

解答

$$f'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a)$$より、$f(x)$ の増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline
x & \cdots & -a & \cdots & a & \cdots \\ \hline
f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline
f(x) & \nearrow & 2a^3 & \searrow & -2a^3 & \nearrow \\ \hline
\end{array}$$

よって、$y=f(x)$ の概形は下図のようになる。

$\alpha,\,\beta,\,\gamma$ は曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=b$ の共有点の $x$ 座標であるから、図より、条件１は
$$-2a^3\lt b\lt2a^3 \quad\cdots\text{①}$$と同値であり、このとき条件２は
$$1\lt\beta\lt a \quad\cdots\text{②}$$となる。

増減表より、$1\leqq x\leqq a$ において $f(x)$ は単調減少なので
$$\begin{align}
\text{②} \ &\Longleftrightarrow \ f(a)\lt f(\beta)\lt f(1) \\[0.3em]
&\Longleftrightarrow \ -2a^3\lt b\lt1-3a^2. \quad\cdots\text{③}
\end{align}$$

$a\gt1$ において $1-3a^2\lt0\lt2a^3$ であることに注意すると、①,②,③より、題意を満たす $(a,\,b)$ の条件は
$$\boldsymbol{a\gt1} \ \,\mathbf{\text{かつ}} \, \boldsymbol{-2a^3\lt b\lt1-3a^2}.$$

これを座標平面上に図示すると、下図の網掛け部分のようになる。ただし、境界は含まない。

解説

方程式の解が $2$ 曲線（直線）の共有点の $x$ 座標を表すことに注意すれば、答えだけは求められると思います。

この問題のポイントはその答えが $2$ 条件と必要十分であることを論証することです。

本解答はいきなり必要十分条件を示しましたが、必要条件から絞っていく方法も有効です（例えば $2$ 条件を満たすとき $b\lt0$ が必要、など）。

解答の図で、何となく囲まれた部分を塗りたくなりますが、$a\gt1$ に注意しましょう。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2018年 第4問）の解説をしました。