東京大学 理系数学 2018年 第1問 解説

今回は、東京大学理系数学（2018年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　関数
$$f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x\quad(0\lt x\lt\pi)$$の増減表をつくり，$x\to+0$，$x\to\pi-0$ のときの極限を調べよ。

（東京大学）

解答

$$\begin{align}
f'(x) &= \dfrac{\sin x-x\cos x}{\sin^2x}-\sin x \\[0.2em]
&= \dfrac{\sin x-x\cos x-\sin^3x}{\sin^2x} \\[0.2em]
&= \dfrac{\sin x(1-\sin^2x)-x\cos x}{\sin^2x} \\[0.2em]
&= \dfrac{\sin x\cos^2x-x\cos x}{\sin^2x} \\[0.2em]
&= \dfrac{\cos x(\sin x\cos x-x)}{\sin^2x} \\[0.2em]
&= \dfrac{\cos x(\sin2x-2x)}{2\sin^2x}.
\end{align}$$

$g(x)=\sin2x-2x$ とおくと、$0\lt x\lt\pi$ において
$$\begin{align}
g'(x) &= 2\cos2x-2 \\[0.2em]
&= 2(\cos2x-1)\lt0
\end{align}$$より $g(x)$ は単調減少し、$g(0)=0$ より $g(x)\lt0.$

よって、$f(x)=0$ となるのは $\cos x=0$ すなわち $x=\dfrac{\pi}{2}$ のときであるから、$f(x)$ の増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline
x & (0) & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots & (\pi) \\ \hline
f'(x) & & – & 0 & + & \\ \hline
f(x) & & \searrow & \dfrac{\pi}{2} & \nearrow & \\ \hline
\end{array}$$

また
$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{x\to+0}f(x) &= 1+1=\mathbf{2}, \\[0.2em]
\displaystyle\lim_{x\to\pi-0}f(x) &= \boldsymbol{\infty}.
\end{align}$$

解説

微分に関する基本問題です。

$\theta\gt0$ において $\sin\theta\lt\theta$ であることは証明なしに用いても良いと思いますが、簡単に証明できるので、本解答では証明も示しました。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2018年 第1問）の解説をしました。