東京大学 理系数学 2018年 第2問 解説

今回は、東京大学理系数学（2018年 第2問）の解説をしたいと思います。

問題

　数列 $a_1,\,a_2,\,\cdots\cdots$ を
$$a_n=\dfrac{{}_{2n+1}\mathrm{C}_n}{n!}\quad(n=1,\,2,\,\cdots\cdots)$$で定める。

⑴　$n\geqq2$ とする。$\dfrac{a_n}{a_{n-1}}$ を既約分数 $\dfrac{q_n}{p_n}$ として表したときの分母 $p_n\geqq1$ と分子 $q_n$ を求めよ。

⑵ $a_n$ が整数となる $n\geqq1$ をすべて求めよ。

（東京大学）

解答

⑴

$$\begin{align}
\dfrac{a_n}{a_{n-1}} &= \dfrac{{}_{2n+1}\mathrm{C}_n}{n!}\cdot\dfrac{(n-1)!}{{}_{2n-1}\mathrm{C}_{n-1}} \\[0.2em]
&= \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{(2n+1)!}{(n+1)!n!}\cdot\dfrac{n!(n-1)!}{(2n-1)!} \\[0.2em]
&= \dfrac{2(2n+1)}{n(n+1)}.
\end{align}$$

整数 $a,\,b$ に対して、$a$ と $b$ の最大公約数を $\gcd(a,\,b)$ で表す。

・$\gcd(2n+1,\,n)=\gcd(n,\,1)$ より、$2n+1$ と $n$ は互いに素である。

・$\gcd(2n+1,\,n+1)=\gcd(n+1,\,n)=\gcd(n,\,1)$ より、$2n+1$ と $n+1$ は互いに素である。

・$n(n+1)$ は連続する $2$ つの整数の積なので偶数である。よって、$\gcd(n(n+1),\,2)=2.$

以上より
$$\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=\dfrac{2n+1}{\dfrac{n(n+1)}{2}}$$は既約分数となり、$n\geqq2$ において分母は $1$ 以上である。

よって
$$p_n=\boldsymbol{\dfrac{n(n+1)}{2}},\quad q_n=\boldsymbol{2n+1}.$$

⑵

$a_1=\dfrac{{}_3\mathrm{C}_1}{1!}=3$，$a_2=\dfrac{{}_5\mathrm{C}_2}{2!}=5$ より、$n=1,\,2$ は題意を満たす。

また、$a_3=\dfrac{{}_7\mathrm{C}_3}{3!}=\dfrac{35}{6}$ より
$$\begin{align}
a_n &= a_3\cdot\dfrac{a_4}{a_3}\cdot\dfrac{a_5}{a_4}\cdot\cdots\cdot\cdot\dfrac{a_n}{a_{n-1}} \\[0.2em]
&= \dfrac{35}{6}\cdot\dfrac{q_4}{p_4}\cdot\dfrac{q_5}{p_5}\cdot\cdots\cdot\cdot\dfrac{q_n}{p_n}. \quad\cdots\text{①}
\end{align}$$

$p_n,\,q_n$ は整数なので、①の分母は偶数である。

一方、$35$ は奇数であり、$q_n=2n+1$ も奇数であるから、①の分子は奇数である。

したがって、$n\geqq3$ のとき、$a_n$ の分母の素因数 $2$ を約分することができないので、$a_n$ は整数とならない。

以上より、求める $n$ は $n=\mathbf{1},\,\mathbf{2}.$

解説

⑴は、$a_n=\dfrac{2(2n+1)}{n(n+1)}$ の時点で終わらないようにしましょう。
わざわざ「既約分数」と書いてある意味を察する必要があります。

ただ、$a_n=\dfrac{2n+1}{\dfrac{n(n+1)}{2}}$ がさらに約分できないことを示すのは少し難しいです。
$2$ で約分する前の形で考えることがポイントです。

⑵は、$q_n=2n+1$ が奇数だと気づければ、$n\geqq3$ で分母の素因数 $2$ を約分して消すことができないことが分かると思います。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2018年 第2問）の解説をしました。