神戸大学 理系数学 2019年 第3問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2019年 第3問）の解説をしたいと思います。

問題

$n$ を $2$ 以上の整数とする．$2$ 個のさいころを同時に投げるとき，出た目の数の積を $n$ で割った余りが $1$ となる確率を $P_n$ とする．以下の問に答えよ．

⑴　$P_2, \ $$P_3, \ $$P_4$ を求めよ．

⑵　$n\geqq 36$ のとき，$P_n$ を求めよ．

⑶　$P_n=\dfrac{1}{18}$ となる $n$ をすべて求めよ．

（神戸大学）

解答

⑴

$2$ 個のさいころの出た目を $a,b$ とする。

また、$n$ を法として整数 $p$ と $q$ が合同であることを $p\overset{n}{\equiv}q$ と表す。

・$P_2$ について

$ab\overset{2}{\equiv}1$ となるのは、「 $a\overset{2}{\equiv}1$ かつ $b\overset{2}{\equiv}1$ 」のとき、すなわち
$$a=1,3,5,\quad b=1,3,5$$のときであるから
$$P_2=\dfrac{3^2}{6^2}=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$$

・$P_3$ について

$ab\overset{3}{\equiv}1$ となるのは、「 $a\overset{3}{\equiv}1$ かつ $b\overset{3}{\equiv}1$ 」または「 $a\overset{3}{\equiv}2$ かつ $b\overset{3}{\equiv}2$ 」のとき、すなわち
$$\begin{eqnarray}
(a,b) &=& (1,1),(1,4),(4,1),(4,4), \\
&& (2,2),(2,5),(5,2),(5,5)
\end{eqnarray}$$のときであるから
$$P_3=\dfrac{8}{6^2}=\boldsymbol{\dfrac{2}{9}}$$

・$P_4$ について

$ab\overset{4}{\equiv}1$ となるのは、「 $a\overset{4}{\equiv}1$ かつ $b\overset{4}{\equiv}1$ 」または「 $a\overset{4}{\equiv}3$ かつ $b\overset{4}{\equiv}3$ 」のとき、すなわち
$$(a,b)=(1,1),(1,5),(5,1),(5,5),(3,3)$$のときであるから
$$P_4=\dfrac{5}{6^2}=\boldsymbol{\dfrac{5}{36}}$$

⑵

$ab\overset{n}{\equiv}1$ のとき、整数 $k$ を用いて
$$ab=kn+1$$と表せる。

$k\leqq -1$ のとき
$$ab\leqq -1\cdot 36+1=-35$$となるが、$1\leqq ab\leqq 36$ より不適。

$k=0$ のとき
$$ab=0\cdot n+1=1$$となり、これを満たすのは
$$(a,b)=(1,1)$$の $1$ 通りである。

$k\geqq 1$ のとき
$$ab\geqq 1\cdot 36+1=37$$となるが、$1\leqq ab\leqq 36$ より不適。

よって、$n\geqq 36$ のとき
$$P_n=\boldsymbol{\dfrac{1}{36}}$$

⑶

$$P_n=\dfrac{1}{18}=\dfrac{2}{36}$$より、条件を満たす $(a,b)$ は $2$ 通りである。

$(a,b)=(1,1)$ のとき
$$ab=1\overset{n}{\equiv}1$$より、条件を満たす $(a,b)$ の $1$ つは $(1,1)$ である。

ここで、$(a,b)=(s,t)$（ $s\ne t$ ）が条件を満たすと仮定すると、$(a,b)=(t,s)$ も条件を満たし、$(1,1)$ と合わせて $3$ 通りとなるので不適。

よって、$a=b$ が必要である。

(ⅰ)　$a=b=2$ のとき
$$ab=4=3+1$$より、$n$ は $3$ の約数となるので $n=3$ であるが、⑴より $P_3\ne\dfrac{1}{18}$ なので不適。

(ⅱ)　$a=b=3$ のとき
$$ab=9=8+1$$より、$n$ は $8$ の約数となるので $n=2,\,$$4,\,$$8$ である。

$n=2,4$ のとき、⑴より $P_2\ne\dfrac{1}{18}, \ $$P_4\ne\dfrac{1}{18}$ なので不適。

$n=8$ のとき、$(a,b)=(5,5)$ とすると
$$ab=25\overset{8}{\equiv}1$$より、条件を満たすので不適。

(ⅲ)　$a=b=4$ のとき
$$ab=16=15+1$$より、$n$ は $15$ の約数となるので $n=3,\,$$5,\,$$15$ である。

$n=3$ のとき、⑴より $P_3\ne\dfrac{1}{18}$ なので不適。

$n=5$ のとき、$(a,b)=(2,3)$ とすると
$$ab=6\overset{5}{\equiv}1$$より、条件を満たすので不適。

$n=15$ のとき
$$ab=1,16,31$$であり、これを満たすのは $(a,b)=(1,1),(4,4)$ の他には存在しないので適する。

(ⅳ)　$a=b=5$ のとき
$$ab=25=24+1$$より、$n$ は $24$ の約数となるので $n=2,\,$$3,\,$$4,\,$$6,\,$$8,\,$$12,\,$$24$ である。

$n=2,3,4$ のとき、⑴より $P_2\ne\dfrac{1}{18}, \ $$P_3\ne\dfrac{1}{18}, \ $$P_4\ne\dfrac{1}{18}$ なので不適。

$n=6$ のとき
$$ab=1,7,13,19,25,31$$であり、これを満たすのは $(a,b)=(1,1),(5,5)$ の他には存在しないので適する。

$n=8$ のとき、(ⅱ)より不適。

$n=12$ のとき
$$ab=1,13,25$$であり、これを満たすのは $(a,b)=(1,1),(5,5)$ の他には存在しないので適する。

$n=24$ のとき
$$ab=1,25$$であり、これを満たすのは $(a,b)=(1,1),(5,5)$ の他には存在しないので適する。

(ⅴ)　$a=b=6$ のとき
$$ab=36=35+1$$より、$n$ は $35$ の約数となるので $n=5,\,$$7,\,$$35$ である。

$n=5$ のとき、(ⅲ)より不適。

$n=7$ のとき、$(a,b)=(2,4)$ とすると
$$ab=8\overset{7}{\equiv}1$$より、条件を満たすので不適。

$n=35$ のとき
$$ab=1,36$$であり、これを満たすのは $(a,b)=(1,1),(6,6)$ の他には存在しないので適する。

(ⅰ)～(ⅴ)より、求める $n$ の値は $n=\mathbf{6},\,$$\mathbf{12},\,$$\mathbf{15},\,$$\mathbf{24},\,$$\mathbf{35}$ である。

解説

⑴は、合同式を使わずに表を使うなどしても大丈夫です。答えだけは合わせましょう。

⑵は、感覚的には $\dfrac{1}{36}$ と分かりますが、どう記述するかがポイントです。

⑶は、⑴,⑵から $(a,b)=(1,1)$ が $n$ によらず条件を満たすことが分かるので、残る組は $1$ つだけとなります。
また、⑴,⑵から $5\leqq n\leqq 35$ ということが分かっているので、最終手段としてしらみつぶしに求める手があります。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2019年 第3問）の解説をしました。