神戸大学 理系数学 2019年 第4問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2019年 第4問）の解説をしたいと思います。

問題

次のように $1,3,4$ を繰り返し並べて得られる数列を $\{a_n\}$ とする．
$$1, \ 3, \ 4, \ 1, \ 3, \ 4, \ 1, \ 3, \ 4, \; \cdots$$すなわち，$a_1=1, \ $$a_2=3, \ $$a_3=4$ で，$4$ 以上の自然数 $n$ に対し，$a_n=a_{n-3}$ とする．この数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする．以下の問に答えよ．

⑴　$S_n$ を求めよ．

⑵　$S_n=2019$ となる自然数 $n$ は存在しないことを示せ．

⑶　どのような自然数 $k$ に対しても，$S_n=k^2$ となる自然数 $n$ が存在することを示せ．

（神戸大学）

解答

⑴

$m$ を自然数とする。

$n=3m-2$ のとき
$$\begin{align}
S_n &= (1+3+4)(m-1)+1 \\[0.2em]
&= 8m-7
\end{align}$$

$n=3m-1$ のとき
$$\begin{align}
S_n &= (1+3+4)(m-1)+1+3 \\[0.2em]
&= 8m-4
\end{align}$$

$n=3m$ のとき
$$S_n=(1+3+4)m=8m$$

よって、$\boldsymbol{m}$ を自然数として
$$S_n=\left\{
\begin{array}{ll}
\boldsymbol{8m-7} & \mathbf{\text{（}} \ \boldsymbol{n=3m-2} \ \mathbf{\text{のとき）}} \\
\boldsymbol{8m-4} & \mathbf{\text{（}} \ \boldsymbol{n=3m-1} \ \mathbf{\text{のとき）}} \\
\boldsymbol{8m} & \mathbf{\text{（}} \ \boldsymbol{n=3m} \ \mathbf{\text{のとき）}}
\end{array}
\right.$$

⑵

解法1

⑴より、$S_n$ を $8$ で割った余りは $0,\,$$1,\,$$4$ のいずれかである。

一方、$2019$ を $8$ で割った余りは $3$ である。

よって、$S_n=2019$ となる自然数 $n$ は存在しない。$$\tag{証明終}$$

解法2

$S_n=2019$ となる自然数 $n$ が存在すると仮定する。

$n=3m-2$ のとき
$$\begin{align}
8m-7 &= 2019 \\
\therefore \ m &= 253+\dfrac{1}{4}
\end{align}$$

$n=3m-1$ のとき
$$\begin{align}
8m-4 &= 2019 \\
\therefore \ m &= 252+\dfrac{7}{8}
\end{align}$$

$n=3m$ のとき
$$\begin{align}
8m &= 2019 \\
\therefore \ m &= 252+\dfrac{3}{8}
\end{align}$$

いずれの場合も、$m$ が自然数であることに矛盾する。

よって、$S_n=2019$ となる自然数 $n$ は存在しない。$$\tag{証明終}$$

⑶

解法1

$$k\equiv 0,1,2,3,4,5,6,7 \pmod 8$$のとき、それぞれ
$$k^2\equiv 0,1,4,1,0,1,4,1 \pmod 8$$となるので、$k^2$ を $8$ で割った余りは $0,\,$$1,\,$$4$ のいずれかである。

また、⑴より $S_n$ は $8$ で割った余りが $0,\,$$1,\,$$4$ のいずれかである自然数すべてを含んでいる。

したがって、すべての自然数 $k$ に対して $S_n=k^2$ となる自然数 $n$ が存在する。$$\tag{証明終}$$

解法2

すべての自然数 $\ell$ について
$$n=\left\{
\begin{array}{ll}
6\ell^2-9\ell+4 & \text{（} \ k=4\ell-3 \ \text{のとき）} \\
6\ell^2-6\ell+2 & \text{（} \ k=4\ell-2 \ \text{のとき）} \\
6\ell^2-3\ell+1 & \text{（} \ k=4\ell-1 \ \text{のとき）} \\
6\ell^2 & \text{（} \ k=4\ell \ \text{のとき）}
\end{array}
\right. \ \cdots(*)$$が成り立つことを数学的帰納法により示す。

(ⅰ)　$\ell=1$ のとき

・$k=1$ のとき
$$\begin{align}
n &= 6-9+4=1, \\[0.2em]
S_1 &= 1=1^2
\end{align}$$

・$k=2$ のとき
$$\begin{align}
n &= 6-6+2=2, \\[0.2em]
S_2 &= 1+3=4=2^2
\end{align}$$

・$k=3$ のとき
$$\begin{align}
n &= 6-3+1=4, \\[0.2em]
S_4 &= 1+3+4+1=9=3^2
\end{align}$$

・$k=4$ のとき
$$\begin{align}
n &= 6, \\[0.2em]
S_6 &= 1+3+4+1+3+4=16=4^2
\end{align}$$

よって、成り立つ。

(ⅱ)　$\ell=t$（ $t$ は自然数）のとき $(*)$ が成り立つと仮定すると、$k=4t$ のとき$$n=6t^2\equiv 0 \pmod 3$$より $a_{6t^2+1}=1$ であり、
$$S_{6t^2}=(4t)^2=16t^2$$である。

$\ell=t+1$ のときを考える。

・$k=4t+1$ のとき
$$\begin{align}
S_{6t^2+3t+1} &= 16t^2+(1+3+4)t+1 \\
&= (4t+1)^2, \\[0.2em]
6t^2+3t+1 &= 6(t+1)^2-9(t+1)+4
\end{align}$$

・$k=4t+2$ のとき
$$\begin{align}
S_{6t^2+6t+2} &= 16t^2+(1+3+4)\cdot 2t+1+3 \\
&= (4t+2)^2, \\[0.2em]
6t^2+6t+2 &= 6(t+1)^2-6(t+1)+2
\end{align}$$

・$k=4t+3$ のとき
$$\begin{align}
S_{6t^2+9t+4} &= 16t^2+(1+3+4)(3t+1)+1 \\
&= (4t+3)^2, \\[0.2em]
6t^2+9t+4 &= 6(t+1)^2-3(t+1)+1
\end{align}$$

・$k=4t+4$ のとき
$$\begin{align}
S_{6t^2+12t+6} &= 16t^2+(1+3+4)(4t+2) \\
&= (4t+4)^2, \\[0.2em]
6t^2+12t+6 &= 6(t+1)^2
\end{align}$$

よって、成り立つ。

(ⅰ),(ⅱ)より、すべての自然数 $\ell$ について $(*)$ が成り立つ。

また、$(*)$ より、$S_n=k^2$ となるときの $n$ は整数であり、$\ell\gt 0$ のとき
$$\begin{array}{l}
6\ell^2-9\ell+4=6\left(\ell-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{5}{8}\gt 0 \\
6\ell^2-6\ell+2=6\left(\ell-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\gt 0 \\
6\ell^2-3\ell+1=6\left(\ell-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{5}{8}\gt 0 \\
6\ell^2\gt 0
\end{array}$$より、これらの $n$ は自然数である。

よって、すべての自然数 $k$ に対して $S_n=k^2$ となる自然数 $n$ が存在する。$$\tag{証明終}$$

解説

⑴は、$\{a_n\}$ が周期 $3$ の数列であることから、$n$ を $3$ で割った余りで分類しましょう。

⑵は、直接 $S_n=2019$ となるときの $n \ (m)$ を求めても（解法2）良いですし、⑴の答えから $S_n$ を $8$ で割った余りが $0,1,4$ のいずれかになることに気づけば、よりシンプルに示せます（解法1）。

⑶は、⑵と同様、$8$ で割った余りに着目すればシンプルに示せます（解法1）。

また、すべての自然数に関する証明なので数学的帰納法を想定した人も多いと思いますが、解法2のように面倒臭い証明となってしまいます。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2019年 第4問）の解説をしました。