神戸大学 理系数学 2022年 第5問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2022年 第5問）の解説をしたいと思います。

問題

$a,b$ を実数，$p$ を素数とし，$1 \lt a \lt b$ とする．以下の問に答えよ．

⑴　$x,y,z$ を $0$ でない実数とする．$a^x=b^y=(ab)^z$ ならば $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}$ であることを示せ．

⑵　$m,n$ を $m \gt n$ をみたす自然数とし，$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{p}$ とする．$m,n$ の値を $p$ を用いて表せ．

⑶　$m,n$ を自然数とし，$a^m=b^n=(ab)^p$ とする．$b$ の値を $a,p$ を用いて表せ．

（神戸大学）

解答

⑴

解法1

$a^x=b^y=(ab)^z=k$ とおくと
$$a=k^\frac{1}{x}, \ b=k^\frac{1}{y}, \ ab=k^\frac{1}{z}$$より
$$k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=k^\frac{1}{x}k^\frac{1}{y}=ab=k^\frac{1}{z}$$となる。したがって
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}$$$$\tag{証明終}$$

解法2

$1 \lt a \lt b$ より $ab \gt 1$ であるから、$a^x=b^y=(ab)^z$ の各辺について底を $ab$ とする対数をとると
$$x\log_{ab}a=y\log_{ab}b=z$$となるから、$x,y,z \ne 0$ より
$$\dfrac{1}{x}=\dfrac{\log_{ab}a}{z}, \ \dfrac{1}{y}=\dfrac{\log_{ab}b}{z}$$である。よって
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{\log_{ab}a+\log_{ab}b}{z}=\dfrac{\log_{ab}ab}{z}=\dfrac{1}{z}$$$$\tag{証明終}$$

⑵

$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{p}$ の両辺に $pmn$ をかけると
$$\begin{eqnarray}
pn+pm&=&mn \\
mn-pm-pn&=&0 \\
(m-p)(n-p)&=&p^2
\end{eqnarray}$$となる。$m-p, \ n-p$ は整数であり、 $m \gt n$ より $m-p \gt n-p$ であるから、
$$\begin{eqnarray}
(m-p,n-p)&=&(p^2,1),(-1,-p^2) \\
(m,n) &=& (p^2+p,p+1),(p-1,p-p^2)
\end{eqnarray}$$

ここで、$p$ は素数なので $p \geqq 2$ であるから $p-p^2=p(1-p)\lt 0$となる。これは $n$ が自然数という条件に反するので、$(m,n)=(p-1,p-p^2)$ は不適。

以上より
$$m=\boldsymbol{p^2+p}, \ n=\boldsymbol{p+1}$$

⑶

$m,n$ は自然数、$p$ は素数より、$m,n,p \ne 0$ であるから、⑴より $\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{p}$ が成り立つ。

ここで、$1 \lt a \lt b$ より $a^n \lt b^n$ であるから、$a^m=b^n$ と合わせると $a^n \lt a^m$ となる。$a \gt 1$ より $m \gt n$ である。

ゆえに、⑵の結果から $m=p^2+p=p(p+1), \ n=p+1$ となるから
$$b^{p+1}=a^{p(p+1)}$$
したがって
$$b = a^p$$

このとき、$(ab)^p=\left(a\cdot a^p\right)^p=a^{p(p+1)}$ より $b^n=(ab)^p$ も成り立つ。

以上より
$$b = \boldsymbol{a^p}$$

解説

「指数・対数」と「整数」をからめた問題です。⑴,⑵は基本的な難易度の問題であり、⑶は⑴,⑵を組み合わせた問題ですから、ぜひとも取っておきたい1問です。

⑴の「解法2」について、本解答では底を $ab$ とする対数をとりましたが、底は $a$ や$b$、言うなれば $10$ や $e$ など何でも良いです。

⑵での $(m,n)$ の絞り込みについては別の方法もあり、以下に示します：

⑶はあからさまに⑴,⑵を組み合わせる問題ですが、⑴,⑵を適用するための前提条件（ $m,n,p \ne 0$、$m \gt n$）が満たされているかを確認しましょう。

また、$a^m=b^n$ から導いた $b = a^p$ はあくまで必要条件です。
$b^n=(ab)^p$（あるいは $a^m=(ab)^p$ ）を示してはじめて必要十分条件となるので注意しましょう。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2022年 第5問）の解説をしました。