東京大学 理系数学 2019年 第1問 解説

今回は、東京大学理系数学（2019年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　次の定積分を求めよ。
$$\displaystyle\int_0^1\bigg(x^2+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\bigg)\bigg(1+\dfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\bigg)dx$$

（東京大学）

解答

$$\begin{align}
&\hphantom{=} \ \ (\text{与式}) \\
&= \displaystyle\int_0^1\left\{x^2+\dfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\right\}dx.
\end{align}$$

ここで
$$\begin{align}
I_1 &= \displaystyle\int_0^1x^2dx, \\
I_2 &= \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}dx, \\
I_3 &= \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx, \\
I_4 &= \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}dx
\end{align}$$とおく。

$$I_1=\dfrac{1}{3}\Big[\,x^3\,\Big]_0^1=\dfrac{1}{3}.$$

$I_2$ については、$\sqrt{1+x^2}=t$ とおくと
$$\begin{array}{l}
x^2=t^2-1, \\[0.3em]
\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=dt
\end{array} \qquad
\begin{array}{c|c} \hline
x & 0 \to 1 \\ \hline
t & 1 \to \sqrt{2} \\ \hline
\end{array}$$より
$$\begin{align}
I_2 &= \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{1+x^2}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx \\
&= \displaystyle\int_1^\sqrt{2}\dfrac{t^2-1}{t^2}dt \\
&= \displaystyle\int_1^\sqrt{2}\left(1-\dfrac{1}{t^2}\right)dt \\
&= \left[\,t+\dfrac{1}{t}\right]_1^\sqrt{2} \\
&= \dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2.
\end{align}$$

$$I_3=\Big[\sqrt{1+x^2}\,\Big]_0^1=\sqrt{2}-1.$$

$I_4$ については、$x=\tan\theta$ とおくと
$$dx=\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}\qquad
\begin{array}{c|c} \hline
x & 0 \to 1 \\ \hline
\theta & 0 \to \dfrac{\pi}{4} \\ \hline
\end{array}$$より
$$\begin{align}
I_4 &= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan^2\theta}{(1+\tan^2\theta)^2}\cdot\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta} \\
&= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\cdot(\cos^2\theta)^2\cdot\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta} \\
&= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin^2\theta\,d\theta \\
&= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1-\cos2\theta}{2}d\theta \\
&= \dfrac{1}{2}\left[\,\theta-\dfrac{1}{2}\sin2\theta\,\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&= \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}.
\end{align}$$

以上より、求める値は
$$\begin{align}
&\hphantom{=} \ \ \, I_1+I_2+I_3+I_4 \\[0.2em]
&= \dfrac{1}{3}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2+\sqrt{2}-1+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4} \\[0.2em]
&= \boldsymbol{\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-\dfrac{35}{12}+\dfrac{\pi}{8}}.
\end{align}$$

解説

与式の形から、通分したりまとめて置換積分したりしてもややこしくなるだけなので、展開して $1$ つ $1$ つ求めていくのが良いです。

$I_2$ は $I_4$ と同様、$x=\tan\theta$ とおいても求めることができます。

さまざまな置換積分のパターンで正しく計算できるかが問われています。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2019年 第1問）の解説をしました。