今回は、東京大学理系数学(2019年 第1問)の解説をしたいと思います。
問題
次の定積分を求めよ。
(東京大学)
$$\displaystyle\int_0^1\bigg(x^2+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\bigg)\bigg(1+\dfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\bigg)dx$$
解答
$$\begin{align}
&\hphantom{=} \ \ (\text{与式}) \\
&= \displaystyle\int_0^1\left\{x^2+\dfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\right\}dx.
\end{align}$$
ここで
$$\begin{align}
I_1 &= \displaystyle\int_0^1x^2dx, \\
I_2 &= \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}dx, \\
I_3 &= \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx, \\
I_4 &= \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}dx
\end{align}$$とおく。
$$I_1=\dfrac{1}{3}\Big[\,x^3\,\Big]_0^1=\dfrac{1}{3}.$$
$I_2$ については、$\sqrt{1+x^2}=t$ とおくと
$$\begin{array}{l}
x^2=t^2-1, \\[0.3em]
\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=dt
\end{array} \qquad
\begin{array}{c|c} \hline
x & 0 \to 1 \\ \hline
t & 1 \to \sqrt{2} \\ \hline
\end{array}$$より
$$\begin{align}
I_2 &= \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{1+x^2}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx \\
&= \displaystyle\int_1^\sqrt{2}\dfrac{t^2-1}{t^2}dt \\
&= \displaystyle\int_1^\sqrt{2}\left(1-\dfrac{1}{t^2}\right)dt \\
&= \left[\,t+\dfrac{1}{t}\right]_1^\sqrt{2} \\
&= \dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2.
\end{align}$$
$$I_3=\Big[\sqrt{1+x^2}\,\Big]_0^1=\sqrt{2}-1.$$
$I_4$ については、$x=\tan\theta$ とおくと
$$dx=\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}\qquad
\begin{array}{c|c} \hline
x & 0 \to 1 \\ \hline
\theta & 0 \to \dfrac{\pi}{4} \\ \hline
\end{array}$$より
$$\begin{align}
I_4 &= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan^2\theta}{(1+\tan^2\theta)^2}\cdot\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta} \\
&= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\cdot(\cos^2\theta)^2\cdot\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta} \\
&= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin^2\theta\,d\theta \\
&= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1-\cos2\theta}{2}d\theta \\
&= \dfrac{1}{2}\left[\,\theta-\dfrac{1}{2}\sin2\theta\,\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&= \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}.
\end{align}$$
以上より、求める値は
$$\begin{align}
&\hphantom{=} \ \ \, I_1+I_2+I_3+I_4 \\[0.2em]
&= \dfrac{1}{3}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2+\sqrt{2}-1+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4} \\[0.2em]
&= \boldsymbol{\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-\dfrac{35}{12}+\dfrac{\pi}{8}}.
\end{align}$$
$$\boldsymbol{\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-\dfrac{35}{12}+\dfrac{\pi}{8}}$$
解説
与式の形から、通分したりまとめて置換積分したりしてもややこしくなるだけなので、展開して $1$ つ $1$ つ求めていくのが良いです。
$I_2$ は $I_4$ と同様、$x=\tan\theta$ とおいても求めることができます。
さまざまな置換積分のパターンで正しく計算できるかが問われています。
まとめ
今回は、東京大学理系数学(2019年 第1問)の解説をしました。
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