京都大学 理系数学 2022年 第1問 解説

今回は、京都大学理系数学（2022年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　$5.4 \lt \log_{ 4 } 2022 \lt 5.5$ であることを示せ．ただし，$0.301 \lt \log_{ 10 } 2 \lt 0.3011$ であることは用いてよい．

（京都大学）

解答

$$\begin{eqnarray}
\log_{ 4 } 2022 &\lt& \log_{ 4 } 2048 \\
&=& \dfrac{\log_{ 2 } 2048}{\log_{ 2 } 4} \\
&=& \dfrac{11}{2} = 5.5
\end{eqnarray}$$

また
$$\begin{eqnarray}
\log_{ 4 } 2022 &\gt& \log_{ 4 } 2000 \\
&=& \dfrac{\log_{ 10 } 2000}{\log_{ 10 } 4} \\
&=& \dfrac{3+ \log_{ 10 } 2}{2 \log_{ 10 } 2} \\
&\gt& \dfrac{3+0.301}{2 \times 0.3011} \\[0.5em]
&\gt& 5.48 \gt 5.4
\end{eqnarray}$$

よって
$$5.4 \lt \log_{ 4 } 2022 \lt 5.5$$$$\tag{証明終}$$

解説

$\log_{ 4 }2022$ の値を直接求めようとすると、$2022$ を素因数分解する必要があります。$2022 = 2 \times 3 \times 337$ となりますが、$\log_{ 4 }3$ や $\log_{ 4 }337$ の値は与条件からは分かりません。

よって、与条件などから簡単に分かる値で $2022$ を評価しなければなりません。

本解答では、$2000 \lt 2022 \lt 2048$ を利用して、$2$ や $10$ の累乗や積のみで評価しました。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2022年 第1問）の解説をしました。