京都大学 理系数学 2022年 第3問 解説

今回は、京都大学理系数学（2022年 第3問）の解説をしたいと思います。

問題

　$n$ を自然数とする．$3$ つの整数 $n^2+2, \ n^4+2, \ n^6+2$ の最大公約数 $A_n$ を求めよ．

（京都大学）

解答

整数 $a,b$ の最大公約数を $\mathrm{gcd}(a,b)$ と書く。

$n^4+2 = \left(n^2+2\right)\left(n^2-2\right)+6$ より
$$\mathrm{gcd}\left(n^4+2,n^2+2\right) = \mathrm{gcd}\left(n^2+2,6\right) \quad \cdots \text{①}$$

また、$n^6+2 = \left(n^2+2\right)\left(n^4-2n^2+4\right)-6$ より
$$\begin{eqnarray}
\mathrm{gcd}\left(n^6+2,n^2+2\right) &=& \mathrm{gcd}\left(n^2+2,-6\right) \\
&=& \mathrm{gcd}\left(n^2+2,6\right) \quad \cdots \text{②}
\end{eqnarray}$$

①,②より
$$A_n = \mathrm{gcd}\left(n^2+2,6\right)$$

よって、$n$ を $6$ で除した余りで分類すると、次の表のとおりである。

$n$ （$6$ で除した余り）	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$n^2+2$	$2$	$3$	$6$	$11$	$18$	$27$
$A_n$	$2$	$3$	$6$	$1$	$6$	$3$

したがって、
$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A_n =}
\begin{cases}
\boldsymbol{1} & \boldsymbol{(n \equiv 3)} \\
\boldsymbol{2} & \boldsymbol{(n \equiv 0)} \\
\boldsymbol{3} & \boldsymbol{(n \equiv 1,5)} \\
\boldsymbol{6} & \boldsymbol{(n \equiv 2,4)}
\end{cases}
\quad \mathbf{(mod \ 6)}
\end{eqnarray}$$

解説

最大公約数に関する問題では、「ユークリッドの互除法の原理」が有効です。

また、解答で $\mathrm{gcd}\left(n^2+2,-6\right) = \mathrm{gcd}\left(n^2+2,6\right)$ という式が出てきましたが、これは $-6$ と $6$ の約数が全く同じなので成り立ちます。

単に「約数」というと正負両方の数を考えますから、$-6$ も $6$ もその約数は $-6,-3,-2,-1,1,2,3,6$ となるのです。

さらに、$n^4+2$ と $n^6+2$ の最大公約数を考えなくて良いのか、と疑問に思う方もいるかもしれませんね。結論から言うと、考える必要はありません。

なぜかというと、
$$\begin{eqnarray}
\mathrm{gcd}\left(n^4+2,n^2+2\right) &=& \mathrm{gcd}\left(n^6+2,n^2+2\right) \\
&=& \mathrm{gcd}\left(n^2+2,6\right) \quad \cdots \text{①}
\end{eqnarray}$$が成り立った時点で、$n^4+2$ も $n^6+2$ も共通の約数「 $\mathrm{gcd}\left(n^2+2,6\right)$ 」を持っています。
$n$ によってはさらに他の公約数を持っているかもしれませんが、それは $A_n$ には影響を及ぼしません。
すなわち、①が成り立った時点で、$A_n = \mathrm{gcd}(n^2+2,6)$ と結論づけて良いのです。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2022年 第3問）の解説をしました。