京都大学 理系数学 2023年 第3問 解説

今回は、京都大学理系数学（2023年 第3問）の解説をしたいと思います。

問題

　$n$ を自然数とする．$1$ 個のさいころを $n$ 回投げ，出た目を順に $X_1, \ $$X_2, \ $$\cdots\cdots, \ $$X_n$ とし，$n$ 個の数の積 $X_1X_2\cdots\cdots X_n$ を $Y$ とする．

⑴　$Y$ が $5$ で割り切れる確率を求めよ．

⑵　$Y$ が $15$ で割り切れる確率を求めよ．

（京都大学）

解答

⑴

$Y$ が $5$ で割り切れる確率を求めよ．

$Y$ が $5$ で割り切れる事象を $A$ とし、その確率を $P(A)$ とする。

$A$ の余事象 $\overline{A}$ は、$Y$ が $5$ で割り切れない、すなわち出た目がすべて $5$ 以外（$\,1,\,$$2,\,$$3,\,$$4,\,$$6\,$）であるという事象なので、求める確率は
$$\begin{eqnarray}
P(A) &=& 1-P(\overline{A}) \\[0.2em]
&=& \boldsymbol{1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^{\!n}}\,.
\end{eqnarray}$$

⑵

$Y$ が $15$ で割り切れる確率を求めよ．

$Y$ が $3$ で割り切れる事象を $B$ とし、その確率を $P(B)$ とする。

$B$ の余事象 $\overline{B}$ は、$Y$ が $3$ で割り切れない、すなわち出た目がすべて $3, \ $$6$ 以外（$\,1,\,$$2,\,$$4,\,$$5\,$）であるという事象である。

また、事象 $\overline{A}\cap\overline{B}$ は、$Y$ が $3$ でも $5$ でも割り切れない、すなわち出た目がすべて $3, \ $$5, \ $$6$ 以外（$\,1,\,$$2,\,$$4\,$）であるという事象である。

以上より、求める確率は
$$\begin{eqnarray}
P(A\cap B) &=& P(A)+P(B)-P(A\cup B) \\[0.2em]
&=& P(A)+\{1-P(\overline{B})\}-\{1-P(\overline{A\cup B})\} \\[0.2em]
&=& P(A)-P(\overline{B})+P(\overline{A}\cap\overline{B}) \\[0.2em]
&=& 1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^{\!n}-\left(\dfrac{4}{6}\right)^{\!n}+\left(\dfrac{3}{6}\right)^{\!n} \\[0.2em]
&=& \boldsymbol{1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^{\!n}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\!n}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!n}}\,.
\end{eqnarray}$$

解説

さいころの出た目と確率に関する基本的な問題です。

「$\,n$ 回のうち少なくとも $1$ 回 $5$ の倍数が出る」などの状況を考えるときは、余事象を考えましょう。

⑵は $2$ つの余事象を同時に考えるため混乱しがちですが、ベン図やド・モルガンの法則を使って解けばシンプルに考えることができます。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2023年 第3問）の解説をしました。