京都大学 理系数学 2023年 第4問 解説

今回は、京都大学理系数学（2023年 第4問）の解説をしたいと思います。

問題

　次の関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ．
$$f(x)=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2+1+\dfrac{1}{e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2+1}\quad(-1\leqq x\leqq1)$$ただし，$e$ は自然対数の底であり，その値は $e=2.71\cdots\cdots$ である．

（京都大学）

解答

$f(x)=f(-x)$ より、$0\leqq x\leqq1$ の範囲で考える。

$$g(x)=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2+1\quad(0\leqq x\leqq1)$$とおくと
$$f(x)=g(x)+\dfrac{1}{g(x)}$$より
$$f'(x)=g'(x)-\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}=g'(x)\cdot\dfrac{\{g(x)\}^2-1}{\{g(x)\}^2}.$$

ここで、$g(x)\gt1$ に注意すると、$\dfrac{\{g(x)\}^2-1}{\{g(x)\}^2}\gt0.$

また
$$g'(x)=-2xe^{-x^2}+\dfrac{1}{2}x=\dfrac{x(e^{x^2}-4)}{2e^{x^2}}.$$

$0\lt x\lt1$ において
$$e^{x^2}\lt e^1=2.71\cdots\lt4$$であるから
$$g'(x)\lt0.$$

したがって、$0\lt x\lt1$ において $f'(x)\lt0.$

ここで
$$\begin{eqnarray}
g(0) &=& 1+0+1=2, \\[0.2em]
g(1) &=& e^{-1}+\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{1}{e}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{5e+4}{4e}
\end{eqnarray}$$より
$$\begin{eqnarray}
f(0) &=& 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}, \\[0.2em]
f(1) &=& \dfrac{5e+4}{4e}+\dfrac{4e}{5e+4}=\dfrac{41e^2+40e+16}{4e(5e+4)}.
\end{eqnarray}$$

以上より、$f(x)$ の最大値 $\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$，最小値 $\boldsymbol{\dfrac{41e^2+40e+16}{4e(5e+4)}}.$

解説

$f(x)$ は偶関数なので、$x\geqq0$ のみを考えれば十分です。本問では計算量が激減するわけではありませんが、関数が偶関数・奇関数に該当するかどうかチェックする習慣をつけておきましょう。

いきなり $f(x)$ を微分すると計算式が膨大になるので、まず $g(x)$ というカタマリで考えるのが良いです。

符号・計算ミスに注意して完答したい問題です。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2023年 第4問）の解説をしました。