京都大学 理系数学 2023年 第2問 解説

今回は、京都大学理系数学（2023年 第2問）の解説をしたいと思います。

問題

　空間内の $4$ 点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ は同一平面上にないとする．点 $\mathrm{D}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ を次のように定める．点 $\mathrm{D}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\,\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\,\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ を満たし，点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OA}$ を $1:2$ に内分し，点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{OB}$ の中点である．さらに，直線 $\mathrm{OD}$ 上の点 $\mathrm{R}$ を，直線 $\mathrm{QR}$ と 直線 $\mathrm{PC}$ が交点を持つように定める．このとき，線分 $\mathrm{OR}$ の長さと線分 $\mathrm{RD}$ の長さの比 $\mathrm{OR}:\mathrm{RD}$ を求めよ．

（京都大学）

解答

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$ とする。

題意より
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{a}\,,\quad\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{b}\,.$$

また、$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=r\,\overrightarrow{\mathrm{OD}}$（$\,r$ は実数）とすると
$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=r\,\overrightarrow{a\vphantom{b}}+2r\,\overrightarrow{b}+3r\,\overrightarrow{c\vphantom{b}}\,.$$

ここで、直線 $\mathrm{QR}$ と 直線 $\mathrm{PC}$ の交点を $\mathrm{S}$ とすると、$\mathrm{S}$ は 直線 $\mathrm{PC}$ 上の点なので、実数 $s$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=s\,\overrightarrow{\mathrm{OP}}+(1-s)\,\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$と表せる。すなわち
$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\dfrac{1}{3}s\,\overrightarrow{a}+(1-s)\,\overrightarrow{c}\,.\quad\cdots\text{①}$$

同様に、$\mathrm{S}$ は 直線 $\mathrm{QR}$ 上の点なので、実数 $t$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=(1-t)\,\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+t\,\overrightarrow{\mathrm{OR}}$$と表せる。すなわち
$$\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OS}} &=& \dfrac{1}{2}(1-t)\,\overrightarrow{b}+t\,(r\,\overrightarrow{a\vphantom{b}}+2r\,\overrightarrow{b}+3r\,\overrightarrow{c\vphantom{b}}\,) \\
\therefore \ \overrightarrow{\mathrm{OS}} &=& tr\,\overrightarrow{a\vphantom{b}}+\left\{\dfrac{1}{2}(1-t)+2tr\right\}\,\overrightarrow{b}+3tr\,\overrightarrow{c\vphantom{b}}\,.\quad\cdots\text{②}
\end{eqnarray}$$

$4$ 点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ は同一平面上にないので、$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$ は一次独立である。したがって、①,②より
$$\left\{
\begin{eqnarray}
\dfrac{1}{3}s &=& tr \\
0 &=& \dfrac{1}{2}(1-t)+2tr \\[0.2em]
1-s &=& 3tr
\end{eqnarray}
\right.$$となり、これを解くと
$$s=\dfrac{1}{2},\quad t=\dfrac{5}{3},\quad r=\dfrac{1}{10}\,.$$

したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=r\,\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{1}{10}\,\overrightarrow{\mathrm{OD}}$$であるから
$$\mathrm{OR}:\mathrm{RD}=\boldsymbol{1:9}\,.$$

解説

空間ベクトルに関する基本的な問題です。点の位置関係を図にかいて状況を把握しましょう。

本解答は $\overrightarrow{\mathrm{OS}}$ を $2$ 通りの表し方で表すことで変数を求めました。

別解として、$\mathrm{R}$ が平面 $\mathrm{PQC}$ 上の点であることに着目する方法もあります。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2023年 第2問）の解説をしました。