一橋大学 数学 2022年[後期] 第4問 解説

今回は、一橋大学数学（2022年後期 第4問）の解説をしたいと思います。

問題

　大小 $2$ つのさいころを同時に投げる試行を $n$ 回行う。$k$ 回目の試行で出た，大きいさいころの目を $a_k$，小さいさいころの目を $b_k$ とし，$x_k,\,$$y_k$ を
$$\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
a_k=1,\,2 \ \text{のとき} \ x_k=1 \\
a_k=3,\,4 \ \text{のとき} \ x_k=0 \\
a_k=5,\,6 \ \text{のとき} \ x_k=-1
\end{array}\right. \\
\Bigg\{\,\begin{array}{l}
b_k=1,\,2,\,3 \ \text{のとき} \ y_k=1 \\
b_k=4,\,5,\,6 \ \text{のとき} \ y_k=-1
\end{array}\end{array}$$で定める。このとき，$A_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_ky_k$ の値が $\alpha$ となる確率を $P(A_n=\alpha)$ で表す。

⑴　$P(A_3=0)$ を求めよ。

⑵　$n\geqq2$ のとき $P(A_n=n)$，$P(A_n=n-1)$，$P(A_n=n-2)$ をそれぞれ求めよ。

（一橋大学）

解答

⑴

$k$ 回目の試行で $x_ky_k=1,\,0,\,-1$ となる事象をそれぞれ $\mathrm{A},\,$$\mathrm{B},\,$$\mathrm{C}$ とする。

$1$ 回の試行で
・事象 $\mathrm{A}$ が起こる確率は
$$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot2=\dfrac{1}{3}$$・事象 $\mathrm{B}$ が起こる確率は
$$\dfrac{1}{3}\cdot1=\dfrac{1}{3}$$・事象 $\mathrm{C}$ が起こる確率は
$$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot2=\dfrac{1}{3}$$となる。

また、事象 $\mathrm{A},\,$$\mathrm{B},\,$$\mathrm{C}$ が起こる回数をそれぞれ $p,\,$$q,\,$$r$ とする。

$A_3=0$ のとき
$$\left\{\begin{array}{l}
p+q+r=n=3 \\
p-r=\alpha=0
\end{array}\right.$$より
$$(p,\,q,\,r)=(0,\,3,\,0),\,(1,\,1,\,1)$$となるので
$$\begin{align}
P(A_3=0) &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^3+\dfrac{3!}{1!\cdot1!\cdot1!}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \\
&= \boldsymbol{\dfrac{7}{27}}
\end{align}$$

⑵

・$A_n=n$ のとき
$$\left\{\begin{array}{l}
p+q+r=n \\
p-r=\alpha=n
\end{array}\right.$$より
$$(p,\,q,\,r)=(n,\,0,\,0)$$となるので
$$P(A_n=n)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=\boldsymbol{\dfrac{1}{3^n}}$$

・$A_n=n-1$ のとき
$$\left\{\begin{array}{l}
p+q+r=n \\
p-r=\alpha=n-1
\end{array}\right.$$より
$$(p,\,q,\,r)=(n-1,\,1,\,0)$$となるので
$$\begin{align}
P(A_n=n-1) &= {}_n\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^1 \\
&= \boldsymbol{\dfrac{n}{3^n}}
\end{align}$$

・$A_n=n-2$ のとき
$$\left\{\begin{array}{l}
p+q+r=n \\
p-r=\alpha=n-2
\end{array}\right.$$より
$$(p,\,q,\,r)=(n-2,\,2,\,0),\,(n-1,\,0,\,1)$$となるので
$$\begin{align}
P(A_n=n-2) &= {}_n\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+{}_n\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^1 \\
&= \left\{\dfrac{n(n-1)}{2}+n\right\}\cdot\dfrac{1}{3^n} \\
&= \boldsymbol{\dfrac{n(n+1)}{2\cdot3^n}}
\end{align}$$

解説

$1,\,0,\,-1$ をいくつかずつ足して $\alpha$ とする方法の総数と確率をからめた問題です。

本問はそこまでややこしい設定ではないので、解答のように $p,\,$$q,\,$$r$ と置かなくても解けますが、式で表現したほうが厳密ですし他人にも伝わりやすくなります。

⑵では ${}_n\mathrm{C}_1$ や ${}_n\mathrm{C}_2$ の係数を忘れないようにしましょう。

まとめ

今回は、一橋大学数学（2022年後期 第4問）の解説をしました。