神戸大学 理系数学 2020年[後期] 第1問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2020年後期 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

以下の問に答えよ．

⑴　$f(x)=e^{4x}\cos^2x$ とする．$-\dfrac{\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}$ において $f(x)$ は増加することを示せ．

⑵　$g(x)=e^{4x}-2-\tan x$ とする．$-\dfrac{\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}$ において方程式 $g(x)=0$ はただ $1$ つの実数解をもつことを示せ．

（神戸大学）

解答

⑴

$$\begin{align}
f'(x) &= 4e^{4x}\cos^2x+e^{4x}\cdot 2\cos x(-\sin x) \\
&= 2e^{4x}\cos^2x(2-\tan x)
\end{align}$$となる。

$-\dfrac{\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}$ において $e^{4x}\gt 0, \ $$\cos^2x\gt 0, \ $$2-\tan x\gt 0$ である。

よって
$$f'(x)\gt 0$$となるので、$-\dfrac{\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}$ において $f(x)$ は増加する。$$\tag{証明終}$$

⑵

$$\begin{align}
g'(x) &= 4e^{4x}-\dfrac{1}{\cos^2x} \\
&= \dfrac{4e^{4x}\cos^2x-1}{\cos^2x} \\
&= \dfrac{4}{\cos^2x}\left\{f(x)-\dfrac{1}{4}\right\}
\end{align}$$となり、$\cos^2x\gt 0$ より、$g'(x)$ の符号は $f(x)-\dfrac{1}{4}$ の符号と一致する。

ここで
$$\begin{align}
f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{4} &= e^{-\pi}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \\
&= \dfrac{2-e^\pi}{4e^\pi}\lt 0, \\[0.5em]
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{4} &= e^\pi\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \\
&= \dfrac{2e^\pi-1}{4}\gt 0
\end{align}$$であり、⑴より $f(x)$ は増加するので、
$$f(\beta)-\dfrac{1}{4}=0 \ \text{かつ} \ -\dfrac{\pi}{4}\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{4}$$をみたす実数 $\beta$ がただ $1$ つ存在する。

このとき $g'(\beta)=0$ であるから、$g(x)$ の増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline
x & -\dfrac{\pi}{4} & \cdots & \beta & \cdots & \dfrac{\pi}{4} \\ \hline
g'(x) & & – & 0 & + & \\ \hline
g(x) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \\ \hline
\end{array}$$また
$$\begin{align}
g\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) &= \dfrac{1}{e^\pi}-1\lt 0, \\[0.3em]
g\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= e^\pi-3\gt 0
\end{align}$$である。

したがって、$-\dfrac{\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}$ において方程式 $g(x)=0$ はただ $1$ つの実数解をもつ。$$\tag{証明終}$$

解説

⑴は、関数の増加を示すので、微分して $f'(x)\gt 0$ となることを示せば良いです。

⑵は、微分すると $f(x)$ が現れるので、⑴で示したことを上手く使いましょう。

$e$ や $\pi$ の範囲が示されていませんが、$e\gt2, \ $$\pi\gt 3$ は暗黙の了解として使って良いです。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2020年後期 第1問）の解説をしました。