数学過去問解説

神戸大学 理系数学 2020年 第1問 解説

ゆーきち
ゆーきち
こんにちは、ゆーきちです!

今回は、神戸大学理系数学(2020年 第1問)の解説をしたいと思います。

問題

$\alpha$ は実数とし,$f(x)$ は係数が実数である $3$ 次式で,次の条件(ⅰ),(ⅱ)をみたすとする.

(ⅰ) $f(x)$ の $x^3$ の係数は $1$ である.
(ⅱ) $f(x)$ とその導関数 $f'(x)$ について,
$$f(\alpha)=f'(\alpha)=0$$が成り立つ.

以下の問に答えよ.

⑴ $f(x)$ は $(x-\alpha)^2$ で割り切れることを示せ.

⑵ $f(\alpha+2)=0$ とする.$f'(x)=0$ かつ $x\ne\alpha$ をみたす $x$ を $\alpha$ を用いて表せ.

⑶ ⑵の条件のもとで $\alpha=0$ とする.$xy$ 平面において不等式
$$y\geqq f(x) \ \text{かつ} \ y\geqq f'(x) \ \text{かつ} \ y\leqq 0$$の表す部分の面積を求めよ.

(神戸大学)

解答

$f(x)$ を $(x-\alpha)^2$ で割ったときの商を $x+p$,余りを $qx+r$( $p,q,r$ は実数)とすると
$$f(x)=(x-\alpha)^2(x+p)+qx+r \quad\cdots\text{①}$$となる。

$f(\alpha)=0$ より、①に $x=\alpha$ を代入すると
$$q\alpha+r=0 \quad\cdots\text{②}$$ となる。

①の両辺を $x$ について微分すると
$$f'(x)=2(x-\alpha)(x+p)+(x-\alpha)^2+q \quad\cdots\text{③}$$となる。

$f'(\alpha)=0$ より、③に $x=\alpha$ を代入すると
$$q=0$$ となり、②より
$$r=0$$となる。

よって、①より
$$f(x)=(x-\alpha)^2(x+p)$$となり、$f(x)$ を $(x-\alpha)^2$ で割った余りが $0$ であるから、$f(x)$ は $(x-\alpha)^2$ で割り切れる。$$\tag{証明終}$$

⑴より
$$f(x)=(x-\alpha)^2(x+p) \quad\cdots\text{④}$$とおける。

$f(\alpha+2)=0$ より、④に $x=\alpha+2$ を代入すると
$$\begin{align}
4(\alpha+2+p) &= 0 \\
\therefore \ p &= -\alpha-2 \quad\cdots\text{⑤}
\end{align}$$ となる。

また、導関数 $f'(x)$ は③より
$$\begin{align}
f'(x) &= 2(x-\alpha)(x+p)+(x-\alpha)^2 \\
&= (x-\alpha)(3x+2p-\alpha) \\
&= (x-\alpha)(3x-3\alpha-4) \ \text{(}\because\text{⑤)}
\end{align}$$となる。

$$f'(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ x=\alpha, \ \alpha+\dfrac{4}{3}$$であるから、題意をみたす $x$ は $\boldsymbol{\alpha+\dfrac{4}{3}}$ である。

答え

$$\boldsymbol{\alpha+\dfrac{4}{3}}$$

⑵と $\alpha=0$ より
$$\begin{align}
f(x) &= x^2(x-2) \\[0.3em]
f'(x) &= x(3x-4)
\end{align}$$となる。

$f(x)=f'(x)$ となる $x$ を求めると
$$\begin{align}
x^2(x-2) &= x(3x-4) \\
x(x^2-2x-3x+4) &= 0 \\
x(x-1)(x-4) &= 0 \\[0.3em]
\therefore \ x &= 0,1,4
\end{align}$$となる。

よって、曲線 $y=f(x), \ $$y=f'(x)$ を図示すると、下図のようになる。

したがって、求める面積 $S$ は
$$\begin{align}
S &= \displaystyle\int_0^1\{-f(x)\}dx+\displaystyle\int_1^{\frac{4}{3}}\{-f'(x)\}dx \\
&=-\displaystyle\int_0^1(x^3-2x^2)dx-\displaystyle\int_1^{\frac{4}{3}}(3x^2-4x)dx \\
&=-\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2}{3}x^3\right]_0^1-\Big[x^3-2x^2\Big]_1^{\frac{4}{3}} \\[0.2em]
&=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{64}{27}+\dfrac{32}{9}+1-2 \\[0.2em]
&= \boldsymbol{\dfrac{65}{108}}
\end{align}$$

答え

$$\boldsymbol{\dfrac{65}{108}}$$

解説

⑴は、$(x-\alpha)^2$ で割った余りについて議論したいので、
$$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$$とおくよりも、解答のように設定する方が計算量が少なくて済みます。

設定した文字を着実に消去していけば、答えまでたどり着けると思います。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学(2020年 第1問)の解説をしました。

ゆーきち
ゆーきち
今回も最後まで読んでいただき、ありがとうございました!