京都大学 理系数学 2021年 第6問 解説

今回は、京都大学理系数学（2021年 第6問）の解説をしたいと思います。

問題

　次の各問に答えよ．

問１　$n$ を $2$ 以上の整数とする．$3^n-2^n$ が素数ならば $n$ も素数であることを示せ．

問２　$a$ を $1$ より大きい定数とする．微分可能な関数 $f(x)$ が $f(a)=af(1)$ を満たすとき，曲線 $y=f(x)$ の接線で原点 $(0,0)$ を通るものが存在することを示せ．

（京都大学）

解答

問１

対偶である「 $n$ が素数でないならば $3^n-2^n$ も素数でない」を示す。

このとき、$2$ 以上の整数 $a,b$ を用いて $n=ab$ とおけるので
$$\begin{eqnarray}
3^n-2^n &=& 3^{ab}-2^{ab} = (3^a)^b-(2^a)^b \\
&=& (3^a-2^a)\{(3^a)^{b-1}+(3^a)^{b-2}\cdot 2^a +\cdots +(2^a)^{b-1}\}
\end{eqnarray}$$

ここで
$$\begin{eqnarray}
A &=& 3^a-2^a, \\
B &=& (3^a)^{b-1}+(3^a)^{b-2}\cdot 2^a +\cdots +(2^a)^{b-1}
\end{eqnarray}$$とおくと
$$\begin{eqnarray}
A &=& (3-2)(3^{a-1}+3^{a-2}\cdot 2 +\cdots +2^{a-1}) \\
&\geqq& 2 \ \text{（}\because a\geqq 2 \ \text{）} \\[0.5em]
B &\geqq& 2 \ \text{（}\because a\geqq 2, \ b\geqq 2 \ \text{）}
\end{eqnarray}$$であり、$A,B$ は整数なので、$3^n-2^n$ は $2$ 以上の整数どうしの積で表されるので素数ではない。

よって対偶が示されたので、$3^n-2^n$ が素数ならば $n$ も素数である。$$\tag{証明終}$$

問２

$1\leqq x\leqq a$ において $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ とすると
$$\begin{eqnarray}
g(1) &=& f(1) \\
g(a) &=& \dfrac{f(a)}{a} = \dfrac{af(1)}{a} = f(1)
\end{eqnarray}$$より $g(1)=g(a) \ \cdots\text{①}$である。

ここで、$g(x)$ は微分可能であり
$$g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2} \quad\cdots\text{②}$$

また、平均値の定理より
$$\left\{
\begin{array}{l}
g'(c)=\dfrac{g(a)-g(1)}{a-1}=0 \ \text{（}\because\text{①）} \\
1\lt c\lt a
\end{array}
\right.$$を満たす $c$ が存在する。

よって、②より
$$cf'(c)-f(c)=0 \quad\cdots\text{③}$$が成り立つ。

曲線 $y=f(x)$ の $x=c$ における接線の方程式は
$$\begin{eqnarray}
y &=& f'(c)(x-c)+f(c) \\
&=& f'(c)x \ \text{（}\because\text{③）}
\end{eqnarray}$$となり、これは原点 $(0,0)$ を通る。

よって、曲線 $y=f(x)$ の接線で原点 $(0,0)$ を通るものが存在する。$$\tag{証明終}$$

解説

問１は「素数である」ことを証明で使うことが難しいため、対偶をとって「素数ではない＝合成数」から始めるという発想ができれば大丈夫です。
$x^n-y^n$ の形は因数分解できるとピンときた人も多いのではないでしょうか。あとは因数がそれぞれ $2$ 以上であることを言えば問題ありません。

問２は $g(x)$ を思いつかなければ打つ手なしといった感じですが、条件の式から $\dfrac{f(a)}{a}=\dfrac{f(1)}{1}$ と同じような形にできると気づければ引っかかるかもしれません。
取っ掛かりが少ないということは、使える定理・式はフルで必要ということですので、諦めずに粘り強く考えてみましょう。

なお、問２では $f(x)$ の定義域が示されていませんが、$f(1)$ や $f(a)$ が式中にあることから、最低でも $1\leqq x\leqq a$ は含まれているだろうと解釈し、解答を作成しました。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2021年 第6問）の解説をしました。