京都大学 理系数学 2021年 第4問 解説

今回は、京都大学理系数学（2021年 第4問）の解説をしたいと思います。

問題

　曲線 $y=\log(1+\cos x)$ の $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の部分の長さを求めよ．

（京都大学）

解答

$$f(x)=\log(1+\cos x)$$とおき、求める長さを $L$ とすると
$$L=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\{f'(x)\}^2} \ dx$$となる。ここで
$$\begin{eqnarray}
&& \sqrt{1+\{f'(x)\}^2} \\
&=& \sqrt{1+\left(\dfrac{-\sin x}{1+\cos x}\right)^2} \\
&=& \sqrt{\dfrac{1+2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{(1+\cos x)^2}} \\
&=& \dfrac{\sqrt{2(1+\cos x)}}{1+\cos x} \\
&=& \dfrac{\sqrt{2\left(1+2\cos^2\dfrac{x}{2}-1\right)}}{1+2\cos^2\dfrac{x}{2}-1} \\
&=& \dfrac{\sqrt{4\cos^2\dfrac{x}{2}}}{2\cos^2\dfrac{x}{2}} \\
&=& \dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{\cos^2\dfrac{x}{2}} \quad\left(\because0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2} \ \text{より} \ \cos\dfrac{x}{2}\gt 0 \right) \\
&=& \dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{1-\sin^2\dfrac{x}{2}}
= \dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{\left(1+\sin\dfrac{x}{2}\right)\left(1-\sin\dfrac{x}{2}\right)}\\
&=& \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{1+\sin\dfrac{x}{2}}+\dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{1-\sin\dfrac{x}{2}} \right)
\end{eqnarray}$$であるから
$$\begin{eqnarray}
L &=& \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{1+\sin\dfrac{x}{2}}+\dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{1-\sin\dfrac{x}{2}} \right) dx \\
&=& \dfrac{1}{2}\left[ 2\log\left|1+\sin\dfrac{x}{2}\right| -2\log\left|1-\sin\dfrac{x}{2}\right| \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&=& \log\left( 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \ – \ \log\left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \\
&=& \log\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \log(\sqrt{2}+1)^2 \\
&=& \boldsymbol{2\log(\sqrt{2}+1)}
\end{eqnarray}$$

解説

曲線の長さの公式に当てはめるだけですが、計算が少し厄介です。

$\cos x=2\cos^2\dfrac{x}{2}-1$ と変形できることは頭の片隅に置いておきましょう。

また、$\dfrac{1}{\cos\dfrac{x}{2}}$ の積分で部分分数分解をして $\log$ に持っていく流れは慣れておいた方が良いです。
さらに今回は
$$\cos\dfrac{x}{2} = \mathbf{2}\left(1+\sin\dfrac{x}{2}\right)’$$と、係数 $2$ が出ることに注意しましょう。計算ミスするとすれば恐らくここです。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2021年 第4問）の解説をしました。