東京大学 理系数学 2020年 第1問 解説

今回は、東京大学理系数学（2020年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　$a,b,c,p$ を実数とする。不等式
$$\begin{align}
ax^2+bx+c &\gt 0 \\
bx^2+cx+a &\gt 0 \\
cx^2+ax+b &\gt 0
\end{align}$$をすべて満たす実数 $x$ の集合と，$x\gt p$ を満たす実数 $x$ の集合が一致しているとする。

⑴　$a,b,c$ はすべて $0$ 以上であることを示せ。

⑵　$a,b,c$ のうち少なくとも $1$ 個は $0$ であることを示せ。

⑶　$p=0$ であることを示せ。

（東京大学）

解答

⑴

$$\left\{\begin{align}
ax^2+bx+c &\gt 0 \quad\cdots\text{①} \\
bx^2+cx+a &\gt 0 \quad\cdots\text{②} \\
cx^2+ax+b &\gt 0 \quad\cdots\text{③}
\end{align}\right.$$とする。

$a,b,c$ のうち少なくとも $1$ 個が $0$ 未満であると仮定する。対称性から $a\lt 0$ としてよい。

このとき
$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{x\to\infty}(ax^2+bx+c) &= \displaystyle\lim_{x\to\infty}x^2 \left( a+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2} \right) \\
&= -\infty
\end{align}$$より、十分大きい $x$ に対して①は成り立たないので、①,②,③をすべて満たす $x$ の範囲が $x\gt p$ であることに矛盾する。

したがって、背理法より $a\geqq 0$ であり、対称性から $b\geqq 0, \ c\geqq 0$ である。

よって、$a,b,c$ はすべて $0$ 以上である。$$\tag{証明終}$$

⑵

$a,b,c$ がすべて $0$ でないと仮定すると、⑴より $a\gt 0, \ $$b\gt 0, \ $$c\gt 0$ である。

このとき
$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(ax^2+bx+c) &= \displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2 \left( a+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2} \right) \\
&= \infty
\end{align}$$であり、同様に
$$\begin{align}
\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(bx^2+cx+a) &= \infty, \\
\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(cx^2+ax+b) &= \infty
\end{align}$$であるから、十分小さい $x$ に対して①,②,③はすべて成り立ち、①,②,③をすべて満たす $x$ の範囲が $x\gt p$ であることに矛盾する。

したがって、背理法より $a,b,c$ のうち少なくとも $1$ 個は $0$ である。$$\tag{証明終}$$

⑶

⑴,⑵より、$a=0, \ b\geqq 0, \ c\geqq 0$ としてよい。このとき、①,②,③より
$$\left\{\begin{align}
bx+c &\gt 0 \quad\cdots\text{④} \\
bx^2+cx &\gt 0 \quad\cdots\text{⑤} \\
cx^2+b &\gt 0 \quad\cdots\text{⑥}
\end{align}\right.$$となる。

(ⅰ)　$b=0$ のとき
④,⑤,⑥より
$$\left\{\begin{align}
c &\gt 0 \quad\cdots\text{⑦} \\
cx &\gt 0 \quad\cdots\text{⑧} \\
cx^2 &\gt 0 \quad\cdots\text{⑨}
\end{align}\right.$$⑦より、⑧,⑨の両辺を $c$ で除すと
$$\left\{\begin{align}
x &\gt 0 \\
x^2 &\gt 0
\end{align}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad x\gt 0$$となり、$p=0$ である。

(ⅱ)　$b\gt 0$ のとき
⑥は常に成り立つ。
④,⑤より
$$\left\{\begin{alignat}{2}
x &\gt -\dfrac{c}{b} &\quad &\cdots\text{⑩} \\
x\left(x+\dfrac{c}{b}\right) &\gt 0 & &\cdots\text{⑪}
\end{alignat}\right.$$$-\dfrac{c}{b}\leqq 0$ より、⑪は $x\lt-\dfrac{c}{b}, \ 0\lt x$ となるので
$$\left\{\begin{align}
\text{⑩} \\ \text{⑪}
\end{align}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad x\gt 0$$となり、$p=0$ である。

(ⅰ),(ⅱ)より、$p=0$ である。$$\tag{証明終}$$

解説

論理的思考力が試される面白い問題です。対称性や同値性に注意して解きましょう。

⑴,⑵は $a,b,c$ のうちどれかが条件を満たさないと矛盾が生じる、という典型的な背理法を使う問題です。記述の仕方などを今一度確認しておきましょう。

また、式の形から放物線や直線でイメージできますが、解答としては極限を使った方がシンプルかつ厳密だと思います。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2020年 第1問）の解説をしました。