東京大学 理系数学 2021年 第4問 解説

今回は、東京大学理系数学（2021年 第4問）の解説をしたいと思います。

問題

　以下の問いに答えよ。

⑴　正の奇数 $K,L$ と正の整数 $A,B$ が $KA=LB$ を満たしているとする。$K$ を $4$ で割った余りが $L$ を $4$ で割った余りと等しいならば，$A$ を $4$ で割った余りは $B$ を $4$ で割った余りと等しいことを示せ。

⑵　正の整数 $a,b$ が $a\gt b$ を満たしているとする。このとき，$A={}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}, \ B={}_a\mathrm{C}_b$ に対して $KA=LB$ となるような正の奇数 $K,L$ が存在することを示せ。

⑶　$a,b$ は⑵の通りとし，さらに $a-b$ が $2$ で割り切れるとする。${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}$ を $4$ で割った余りは ${}_a\mathrm{C}_b$ を $4$ で割った余りと等しいことを示せ。

⑷　${}_{2021}\mathrm{C}_{37}$ を $4$ で割った余りを求めよ。

（東京大学）

解答

⑴

$K$ を $4$ で割った余りが $L$ を $4$ で割った余りと等しいので、$0$ 以上の整数 $k,\ell,m$ を用いて
$$K=4k+m, \quad L=4\ell+m$$とおける。ただし、$m$ は $1$ または $3$ である。

$KA=LB$ より
$$\begin{eqnarray}
(4k+m)A &=& (4\ell+m)B \\[0.5em]
\therefore\quad (A-B)m &=& 4(B\ell-Ak)
\end{eqnarray}$$$B\ell-Ak$ は整数であり、$m$ は $4$ と互いに素なので、$A-B$ が $4$ の倍数となる。

したがって、$A$ を $4$ で割った余りは $B$ を $4$ で割った余りと等しい。$$\tag{証明終}$$

⑵

$${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}=\dfrac{4a+1}{4b+1}\cdot\dfrac{4a}{4b}\cdot\dfrac{4a-1}{4b-1}\cdot\dfrac{4a-2}{4b-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{4a-4b+1}{1}$$より
$$p_n=\dfrac{4a-n}{4b-n} \ \text{（} \ n=-1,0,1,2,\cdots,4b-1 \ \text{）}$$とおくと
$${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}=p_{-1}p_0p_1p_2 \cdots p_{4b-1}\quad\cdots\text{①}$$となる。

ここで、$p_{-1}$ から $p_{4b-1}$ までのうち、$4$ つおきに取り出して積をとったものを考えると
$$\begin{eqnarray}
p_0p_4p_8\cdots p_{4b-4} &=& \dfrac{4a}{4b}\cdot\dfrac{4a-4}{4b-4}\cdot\dfrac{4a-8}{4b-8}\cdot\cdots\cdot\dfrac{4a-4b+4}{4} \\
&=& \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a-1}{b-1}\cdot\dfrac{a-2}{b-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{a-b+1}{1} \\
&=& {}_a\mathrm{C}_b \quad\cdots\text{②} \\[0.7em]

p_1p_5p_9\cdots p_{4b-3} &=& \dfrac{(4a-1)(4a-5)(4a-9)\cdots(4a-4b+3)}{(4b-1)(4b-5)(4b-9)\cdots 3} \quad\cdots\text{③} \\[0.7em]

p_2p_6p_{10}\cdots p_{4b-2} &=& \dfrac{4a-2}{4b-2}\cdot\dfrac{4a-6}{4b-6}\cdot\dfrac{4a-10}{4b-10}\cdot\cdots\cdot\dfrac{4a-4b+2}{2} \\
&=& \dfrac{(2a-1)(2a-3)(2a-5)\cdots(2a-2b+1)}{(2b-1)(2b-3)(2b-5)\cdots 1} \quad\cdots\text{④} \\[0.7em]

p_{-1}p_3p_7\cdots p_{4b-1} &=& \dfrac{(4a+1)(4a-3)(4a-7)\cdots(4a-4b+1)}{(4b+1)(4b-3)(4b-7)\cdots 1} \quad\cdots\text{⑤}
\end{eqnarray}$$

正の整数 $a,b$（ $a\gt b$ ）に対して、③,④,⑤の分母・分子はいずれも正の奇数である。

よって、③,④,⑤の分母の積を $K$、分子の積を $L$ とすると、$K,L$ はともに正の奇数であり、①～⑤より
$${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}=\dfrac{L}{K}\cdot{}_a\mathrm{C}_b$$となるので $KA=LB$ が成り立つ。

したがって、条件を満たす正の奇数 $K,L$ が存在する。$$\tag{証明終}$$

⑶

$n$ を $4$ で割った余りが $1$ または $3$ のとき、$p_n$ の分母・分子はともに奇数であり、分子と分母の差は
$$(4a-n)-(4b-n)=4(a-b)$$より $4$ の倍数となるので、分母・分子を $4$ で割った余りは等しい。

$n$ を $4$ で割った余りが $2$ のとき、$n=4n’+2$（ $n’=0,1,2,\cdots,b-1$ ）とおくと
$$p_n = \dfrac{4a-(4n’+2)}{4b-(4n’+2)} = \dfrac{2a-2n’-1}{2b-2n’-1}$$となり、分母・分子はともに奇数である。

分子と分母の差は
$$(2a-2n’-1)-(2b-2n’-1)=2(a-b)$$であり、条件より $a-b$ が $2$ で割り切れることから、この差は $4$ の倍数となり、分母・分子を $4$ で割った余りは等しい。

したがって、③,④,⑤の分母の積・分子の積である $K,L$ を $4$ で割った余りは等しい。

⑵より、$K,L$ は正の奇数なので、⑴より、${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}$ を $4$ で割った余りは ${}_a\mathrm{C}_b$ を $4$ で割った余りと等しい。$$\tag{証明終}$$

⑷

$$\begin{eqnarray}
2021 &=& 4 \cdot 505 +1 \\
37 &=& 4 \cdot 9 +1
\end{eqnarray}$$であり、$505-9=496$ は $2$ で割り切れるので、⑶より、${}_{2021}\mathrm{C}_{37}$ を $4$ で割った余りは ${}_{505}\mathrm{C}_{9}$ を $4$ で割った余りと等しい。

同様に
$$\begin{eqnarray}
505 &=& 4 \cdot 126 +1 \\
9 &=& 4 \cdot 2 +1
\end{eqnarray}$$であり、$126-2=124$ は $2$ で割り切れるので、⑶より、${}_{505}\mathrm{C}_{9}$ を $4$ で割った余りは ${}_{126}\mathrm{C}_{2}$ を $4$ で割った余りと等しい。

$$\begin{eqnarray}
{}_{126}\mathrm{C}_{2} &=& \dfrac{126 \cdot 125}{2 \cdot 1} \\
&=& 63\cdot 125 \\
&\equiv& 3\cdot 1 = 3 \pmod4
\end{eqnarray}$$より、求める余りは $\mathbf{3}$ である。

解説

⑵の説明をどう記述するかが難しいと思います。
本解答のように $1$ つ $1$ つの分数を文字で置いたり、積の記号 $\displaystyle\prod$ を導入したりして、正確に伝わるような答案にしましょう。
解答としては、$\dfrac{A}{B}$ を考えたときに、素因数 $2$ で約分しきると分母・分子ともに奇数となることに気付けるかどうかがポイントでした。

⑶では、④を導出する中で $2$ で約分したので、ただちに分子と分母の差が $4$ の倍数だとは言えないために、「 $a-b$ が $2$ で割り切れる」という条件が必要だったんですね。

⑷は、⑴～⑶が解けなくても解ける問題なので、諦めずに取りに行きましょう。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2021年 第4問）の解説をしました。