京都大学 理系数学 2023年 第6問 解説

今回は、京都大学理系数学（2023年 第6問）の解説をしたいと思います。

問題

　$p$ を $3$ 以上の素数とする．また，$\theta$ を実数とする．

⑴　$\cos3\theta$ と $\cos4\theta$ を $\cos\theta$ の式として表せ．

⑵　$\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ のとき，$\theta=\dfrac{m}{n}\cdot\pi$ となるような正の整数 $m$，$n$ が存在するか否かを理由を付けて判定せよ．

（京都大学）

解答

⑴

$\cos3\theta$ と $\cos4\theta$ を $\cos\theta$ の式として表せ．

加法定理および $2$ 倍角の公式より
$$\begin{eqnarray}
\cos3\theta &=& \cos(2\theta+\theta) \\
&=& \cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta \\
&=& (2\cos^2\theta-1)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta \\
&=& 2\cos^3\theta-\cos\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta \\
&=& \boldsymbol{4\cos^3\theta-3\cos\theta} \\[0.3em]
\cos4\theta &=& \cos(2\cdot2\theta) \\
&=& 2\cos^22\theta-1 \\
&=& 2(2\cos^2\theta-1)^2-1 \\
&=& \boldsymbol{8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1}
\end{eqnarray}$$

⑵

$\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ のとき，$\theta=\dfrac{m}{n}\cdot\pi$ となるような正の整数 $m$，$n$ が存在するか否かを理由を付けて判定せよ．

題意を満たす正の整数 $m$，$n$ は存在しないことを背理法により示す。その上で、題意を満たす正の整数 $m$，$n$ が存在すると仮定する。

このとき
$$\begin{eqnarray}
\cos2n\theta &=& \cos\left(2n\cdot\dfrac{m}{n}\cdot\pi\right) \\[0.2em]
&=& \cos2m\pi=1.\quad\cdots\text{①}
\end{eqnarray}$$

ここで、正の整数 $n$ に対して
「最高次の係数が $2^{n-1}$ である $n$ 次の整数係数の整式 $f_n(x)$ が存在して
$$\cos n\theta=f_n(\cos\theta)$$と表せる」$\cdots(*)$
が成り立つことを数学的帰納法により示す。

(ⅰ)　$n=1,2$ のとき
$f_1(x)=x$，$f_2(x)=2x^2-1$ として存在するので、$(*)$ が成り立つ。

(ⅱ)　$n=k,\,k+1$（$\,k=1,2,3,\cdots\,$）のとき $(*)$ が成り立つと仮定する。
このとき、和積の公式により
$$\cos(k+2)\theta+\cos k\theta=2\cos(k+1)\theta\cos\theta$$となるので、仮定より
$$\begin{eqnarray}
\cos(k+2)\theta &=& 2\cos(k+1)\theta\cos\theta-\cos k\theta \\[0.2em]
&=& 2f_{k+1}(\cos\theta)\cos\theta-f_k(\cos\theta).
\end{eqnarray}$$ここで
$$f_{k+2}(x)=2xf_{k+1}(x)-f_k(x)$$とすれば
$$\cos(k+2)\theta = f_{k+2}(\cos\theta)$$であり、さらに仮定より $f_{k+2}(x)$ は最高次の係数が $2^{k+1}$ である $(k+2)$ 次の整数係数の整式となるので、$n=k+2$ のときも $(*)$ が成り立つ。

(ⅰ),(ⅱ)より、すべての正の整数 $n$ に対して $(*)$ が成り立つことが示された。

そこで
$$\begin{eqnarray}
f_{2n}(x) &=& 2^{2n-1}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n-2}x^{2n-2} \\[0.2em]
&& +\cdots+a_1x+a_0
\end{eqnarray}$$とおく。ただし、$a_0,a_1,\cdots,a_{2n-1}$ はすべて整数である。

①より
$$f_{2n}(\cos\theta)=1$$であり、$\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ なので
$$\dfrac{2^{2n-1}}{p^{2n}}+\dfrac{a_{2n-1}}{p^{2n-1}}+\dfrac{a_{2n-2}}{p^{2n-2}}+\cdots+\dfrac{a_1}{p}+a_0=1.$$両辺を $p^{2n-1}$ 倍して整理すると
$$\begin{eqnarray}
\dfrac{2^{2n-1}}{p} &=& -a_{2n-1}-pa_{2n-2} \\
&& -\cdots-p^{2n-2}a_1-p^{2n-1}a_0+p^{2n-1}.
\end{eqnarray}$$

上式の右辺は整数である。しかし、$p$ は $3$ 以上の素数なので左辺が整数となることはなく、矛盾する。

以上より、背理法から題意を満たす正の整数 $m$，$n$ は存在しない。

解説

⑴はボーナス問題ですが、⑵を解く上でのヒントになっています。

⑵は感覚的に存在しないような気がします。例えば $\cos\theta=\dfrac{1}{5}$ を満たす $\theta$ が「$\,(\text{有理数})\times\pi\,$」と表せるなら、有名な事実として知られているはずだからです。そこで、背理法を使って矛盾を示していきます。

題意を満たす $m$，$n$ が存在するなら、$\theta$ を $2n$ 倍すると $2\pi\times(\text{整数})$ の形になるので、その $\cos$ は常に $1$ となることが分かります。ここを取っ掛かりとすることが山場です。

ここで⑴を見ると、$\cos3\theta$ や $\cos4\theta$ に $\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ を代入しても $1$ にはならなさそうです。なぜなら、最高次の係数が偶数で、分母・分子を $p$ で約分できなさそうだからです。$\cos5\theta$ 以降でも同じことを言おうとすれば、命題 $(*)$ を証明することになります。これらを式で表現しようとすると、解答のようになります。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2023年 第6問）の解説をしました。