一橋大学 数学 2022年 第1問 解説

今回は、一橋大学数学（2022年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　$2^a{3}^b+2^c{3}^d=2022$ を満たす $0$ 以上の整数 $a,$$b,$$c,$$d$ の組を求めよ。

（一橋大学）

解答

対称性より、$a\leqq c$ としてよい。

$2\leqq a\leqq c$ とすると
$$2^2(2^{a-2}{3}^b+2^{c-2}{3}^d)=2022$$となるが、左辺は $4$ の倍数、右辺は $4$ の倍数でないので矛盾する。よって、$a\leqq 1$ である。

(ⅰ)　$a=0$ のとき
$$3^b+2^c{3}^d=2022$$$c\geqq 1$ とすると左辺は奇数、右辺は偶数となるので矛盾する。よって、$c=0$ となるので
$$3^b+3^d=2022$$

対称性より、$b\leqq d$ としてよい。

$2\leqq b\leqq d$ とすると
$$3^2(3^{b-2}+3^{d-2})=2022$$となるが、左辺は $9$ の倍数、右辺は $9$ の倍数でないので矛盾する。よって、$b\leqq 1$ である。

$b=0$ のとき
$$\begin{array}{rl}1+3^d& =2022\\ \therefore 3^d& =2021\end{array}$$となるが、これを満たす整数 $d$ は存在しない。

$b=1$ のとき
$$\begin{array}{rl}3+3^d& =2022\\ \therefore 3^d& =2019\end{array}$$となるが、これを満たす整数 $d$ は存在しない。

以上より、$a=0$ のとき、題意を満たす整数の組 $(a,b,c,d)$ は存在しない。

(ⅱ)　$a=1$ のとき
$$\begin{array}{rl}2\cdot 3^b+2^c{3}^d& =2022\\ \therefore 3^b+2^{c-1}{3}^d& =1011\end{array}$$$b\geqq 7$ とすると
$$\begin{array}{rl}{2}^{c-1}{3}^d& =1011-3^b\\ & \leqq 1011-3^7\\ & =1011-2187<0\end{array}$$より不適。

$0\leqq b\leqq 6$ のとき
$$\overline{)\begin{array}{cclc}b& 2^{c-1}{3}^d& (\text{素因数分解})& \text{組}(c,d)\\ 0& 1010& (2\cdot 5\cdot 101)& \text{存在しない}\\ 1& 1008& (2^4\cdot 3^2\cdot 7)& \text{存在しない}\\ 2& 1002& (2\cdot 3\cdot 167)& \text{存在しない}\\ 3& 984& (2^3\cdot 3\cdot 41)& \text{存在しない}\\ 4& 930& (2\cdot 3\cdot 5\cdot 31)& \text{存在しない}\\ 5& 768& (2^8\cdot 3)& (9,1)\\ 6& 282& (2\cdot 3\cdot 47)& \text{存在しない}\end{array}}$$

以上より、$a=1$ のとき、題意を満たす整数の組 $(a,b,c,d)$ は $(1,5,9,1)$ のみである。

与方程式の対称性から、$(a,b)$ と $(c,d)$ は入れ替え可能であるから、(ⅰ),(ⅱ)より、求める整数の組 $(a,b,c,d)$ は
$$(a,b,c,d)=\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{)},\mathbf{(}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{)}$$

解説

累乗と和で構成された方程式なので、$a,$$b,$$c,$$d$ がある程度大きくなると $2022$ を超えてしまうのは予想できると思います。

ですが、それだけではまだ候補が多すぎるので、対称性や剰余の性質を使って、さらに候補を絞りましょう。

ある程度絞れた後は、力技で求めるのも $1$ つの立派な作戦です。本解答でも、(ⅱ)で表を使ってしらみつぶしに調べるということをやっています。

まとめ

今回は、一橋大学数学（2022年 第1問）の解説をしました。