大阪大学 理系数学 2021年 第4問 解説

今回は、大阪大学理系数学（2021年 第4問）の解説をしたいと思います。

問題

　整数 $a,b,c$ に関する次の条件 $(\ast )$ を考える．

$${\displaystyle {\int }_a^c(x^2+bx)dx={\displaystyle {\int }_b^c(x^2+ax)dx\cdots \cdots (\ast )}}$$

⑴　整数 $a,b,c$ が $(\ast )$ および $a\ne b$ をみたすとき，$c$ は $3$ の倍数であることを示せ．

⑵　$c=3600$ のとき，$(\ast )$ および $a<b$ をみたす整数の組 $(a,b)$ の個数を求めよ．

（大阪大学）

解答

⑴

条件 $(\ast )$ より
$$\begin{array}{rcl}{[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{b}{2}}{x}^2]}_a^c& =& {[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2]}_b^c\\ {\displaystyle \frac{c^3}{3}}+{\displaystyle \frac{b{c}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{a^3}{3}}-{\displaystyle \frac{a^{2}b}{2}}& =& {\displaystyle \frac{c^3}{3}}+{\displaystyle \frac{a{c}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{b^3}{3}}-{\displaystyle \frac{a{b}^2}{2}}\\ 3b{c}^2-2a^3-3a^{2}b& =& 3a{c}^2-2b^3-3a{b}^2\end{array}$$$$\begin{array}{rcl}3(a-b)c^2& =& -2(a^3-b^3)-3ab(a-b)\\ 3c^2& =& -2(a^2+ab+b^2)-3ab\text{（}\because a\ne b\text{）}\\ & =& -2a^2-5ab-2b^2\\ \therefore 3c^2& =& -(2a+b)(a+2b)\cdots \text{①}\end{array}$$

①より、左辺は $3$ の倍数なので右辺も $3$ の倍数となる。すなわち、$2a+b$ と $a+2b$ の少なくとも一方が $3$ の倍数である。

一方、$(2a+b)+(a+2b)=3(a+b)$ より $2$ つの和が $3$ の倍数なので、$2a+b$ と $a+2b$ のどちらか一方のみが $3$ の倍数であることはない。

よって、$2a+b$ と $a+2b$ はどちらも $3$ の倍数であり、$(2a+b)(a+2b)$ は $9$ の倍数となる。

したがって、①より $c^2$ は $3$ の倍数となるので、$c$ は $3$ の倍数である。$$\begin{array}{}\text{(証明終)}& \end{array}$$

⑵

$a<b$ より $a\ne 0$ なので、条件 $(\ast )$ は①と同値である。

$3600=2^4\cdot 3^2\cdot 5^2$ より
$$-(2a+b)(a+2b)=2^8\cdot 3^5\cdot 5^4\cdots \text{②}$$をみたす整数の組 $(a,b)$ の個数を求めればよい。

$a<b$ より $2a+b<a+2b\cdots \text{③}$ である。

また、$2a+b$ と $a+2b$ が同符号の場合、②の左辺は負となり矛盾する。したがって $2a+b$ と $a+2b$ は異符号であり、③と合わせると
$$2a+b<0<a+2b\cdots \text{④}$$となる。

⑴より $2a+b$ と $a+2b$ はどちらも $3$ の倍数なので、②をみたす整数の組 $(2a+b,a+2b)$ は、$0\leqq p\leqq 8,$$0\leqq q\leqq 3,$$0\leqq r\leqq 4$ をみたす整数 $p,q,r$ を用いて
$$\left(\begin{array}{c}2a+b\\ a+2b\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}-2^p\cdot 3^q\cdot 5^r\\ 2^{8-p}\cdot 3^{3-q}\cdot 5^{4-r}\end{array}\right)$$と表せる。これを解くと
$$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-(2^{p+1}\cdot 3^q\cdot 5^r+2^{8-p}\cdot 3^{3-q}\cdot 5^{4-r})\\ 2^p\cdot 3^q\cdot 5^r+2^{9-p}\cdot 3^{3-q}\cdot 5^{4-r}\end{array}\right)$$となり、整数の組 $(a,b)$ と $(p,q,r)$ は $1$ 対 $1$ 対応する。

したがって、求める整数の組 $(a,b)$ の個数は
$$9\cdot 4\cdot 5=\mathbf{180}\mathbf{（}\mathbf{個}\mathbf{）}$$

解説

⑴は、①の右辺が $3$ の倍数となるところまでは示せると思います。
そこから $2a+b,a+2b$ がともに $3$ の倍数であることを示すのは、解答の方法以外では、$a\equiv 0,1,2(\mathrm{mod}3)$ と $1$ つ $1$ つ確かめる方法があります。

⑵は、②の左辺に $-$ があるのが気持ち悪いですが、$a<b$ からうまく絞り込みましょう。

最後のところで $(a,b)$ と $(p,q,r)$ が $1$ 対 $1$ 対応するのが納得できない人もいるかもしれません。和の形なので $(p,q,r)$ が違っても結果的に同じ $(a,b)$ になる場合があるのでは？と思いますよね。
でも実はあり得ません。その理由を説明します。

$\{\begin{array}{rcl}2a+b& =& s\\ a+2b& =& t\end{array}$　とおくと、$\{\begin{array}{rcl}a& =& {\displaystyle \frac{2s-t}{3}}\\ b& =& {\displaystyle \frac{2t-s}{3}}\end{array}\cdots (\ast \ast )$　となります。
素因数分解の一意性から、$(p,q,r)$ を決めると $(s,t)$ も自動的に決まり、これらは $1$ 対 $1$ 対応します。
ここで、$(s,t)=(s_1,t_1),(s_2,t_2)$ という $2$ つの組をそれぞれ $(\ast \ast )$ に代入して同じ $(a,b)$ が求まったと仮定すると
$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2s_1-t_1}{3}}& ={\displaystyle \frac{2s_2-t_2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{2t_1-s_1}{3}}& ={\displaystyle \frac{2t_2-s_2}{3}}\end{array}\\ ⟺& \{\begin{array}{rl}2(s_1-s_2)& =t_1-t_2\\ s_1-s_2& =2(t_1-t_2)\end{array}\\ ⟺& s_1-s_2=4(s_1-s_2)\\ ⟺& s_1-s_2=0\\ ⟺& t_1-t_2=0\end{array}$$となり、$(s_1,t_1)=(s_2,t_2)$ だと分かります。つまり、異なる $(s,t)$ から同じ $(a,b)$ が得られることなく、これらは $1$ 対 $1$ 対応しています。
したがって、$(a,b)$ と $(p,q,r)$ は $1$ 対 $1$ 対応している、という訳です。

解答にここまで書かなくても問題はないでしょうが、$1$ 対 $1$ 対応の証明方法の $1$ つとして知っておいても良いと思います。

まとめ

今回は、大阪大学理系数学（2021年 第4問）の解説をしました。