京都大学 理系数学 2021年 第2問 解説

今回は、京都大学理系数学（2021年 第2問）の解説をしたいと思います。

問題

　曲線 $y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+1)$ 上の点 $\mathrm{P}$ における接線は $x$ 軸と交わるとし，その交点を $\mathrm{Q}$ とおく．線分 $\mathrm{PQ}$ の長さを $L$ とするとき，$L$ が取りうる値の最小値を求めよ．

（京都大学）

解答

点 $\mathrm{P}$ の座標を $(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}(a^2+1))$ とする。

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+1)$ より $y^{\prime }=x$ であるから、点 $\mathrm{P}$ における接線の方程式は
$$\begin{array}{rcl}y& =& a(x-a)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(a^2+1)\\ \therefore y& =& ax-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdots \text{①}\end{array}$$

$a=0$ とすると、①は $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となり、$x$ 軸と平行、すなわち $x$ 軸と交わらないので $a\ne 0$ である。

①で $y=0$ として点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標を求めると
$$\begin{array}{rcl}0& =& ax-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}a-{\displaystyle \frac{1}{2a}}\text{（}\because a\ne 0\text{）}\end{array}$$

よって
$$\begin{array}{rcl}{L}^2& =& {\mathrm{PQ}}^2\\ & =& {\{a-({\displaystyle \frac{1}{2}}a-{\displaystyle \frac{1}{2a}})\}}^2+{\{{\displaystyle \frac{1}{2}}(a^2+1)\}}^2\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4a^2}}(a^2+1{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}(a^2+1{)}^2\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}(a^2+1{)}^2({\displaystyle \frac{1}{a^2}}+1)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{(a^2+1{)}^3}{a^2}}\end{array}$$

$b=a^2$ とおくと、$a\ne 0$ より $b>0$ であり
$$L^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{(b+1{)}^3}{b}}$$

ここで、$f(b)={\displaystyle \frac{(b+1{)}^3}{b}}$ とおくと
$$L^2={\displaystyle \frac{1}{4}}f(b)\cdots \text{②}$$であり
$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(b)& =& {\displaystyle \frac{3(b+1{)}^2\cdot b–(b+1{)}^3\cdot 1}{b^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(b+1{)}^2(2b-1)}{b^2}}\end{array}$$

$f(b)$ の増減表は次のようになる。
$$\overline{)\begin{array}{ccccc}b& (0)& \cdots & {\displaystyle \frac{1}{2}}& \cdots \\ f^{\prime }(b)& & –& 0& +\\ f(b)& & <img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\searrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/2198.svg">& \text{最小}& <img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/2197.svg">\end{array}}$$

よって、$f(b)$ は $b={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき最小となり、このとき②より
$$\begin{array}{rcl}{L}^2& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {({\displaystyle \frac{1}{2}}+1)}^3\cdot 2\\ & =& {\displaystyle \frac{3^3}{4^2}}\end{array}$$

したがって、$L$ の最小値は
$$L=\sqrt{{\displaystyle \frac{3^3}{4^2}}}={\displaystyle \frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{4}}}\text{（}\because L>0\text{）}$$

解説

状況が分かりやすく、方針はほぼ $1$ 本道です。

$L^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{(a^2+1{)}^3}{a^2}}$ と簡単な形にまとめることができれば大丈夫です。

そのまま微分すると計算量が多くなるので、解答のように $a^2$ を別の文字でおきましょう。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2021年 第2問）の解説をしました。