東京大学 理系数学 2021年 第3問 解説

今回は、東京大学理系数学（2021年 第3問）の解説をしたいと思います。

問題

　関数
$$f(x)=\dfrac{x}{x^2+3}$$に対して，$y=f(x)$ のグラフを $C$ とする。点 $\mathrm{A}(1,f(1))$ における $C$ の接線を
$$\ell:\quad y=g(x)$$とする。

⑴　$C$ と $\ell$ の共有点で $\mathrm{A}$ と異なるものがただ $1$ つ存在することを示し，その点の $x$ 座標を求めよ。

⑵　⑴で求めた共有点の $x$ 座標を $\alpha$ とする。定積分
$$\displaystyle\int_{\alpha}^{1}\{f(x)-g(x)\}^2dx$$を計算せよ。

（東京大学）

解答

⑴

$f(1)=\dfrac{1}{4}$ である。

$$\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \dfrac{1\cdot( x^2+3 ) \ – \ x\cdot 2x}{( x^2+3 )^2} \\
&=& \dfrac{-x^2+3}{( x^2+3 )^2}
\end{eqnarray}$$より
$$f'(1)=\dfrac{-1+3}{( 1+3 )^2} = \dfrac{1}{8}$$であるから
$$g(x)=\dfrac{1}{8}(x-1)+\dfrac{1}{4} = \dfrac{x+1}{8}$$

$C$ と $\ell$ の方程式から $y$ を消去して $2$ つのグラフの共有点の $x$ 座標を求めると
$$\begin{eqnarray}
\dfrac{x}{x^2+3} &=& \dfrac{x+1}{8} \\
(x+1)( x^2+3 ) &=& 8x \\
x^3+x^2-5x+3 &=& 0 \\
(x-1)^2(x+3) &=& 0 \\
x &=& 1,-3
\end{eqnarray}$$より、$x$ 座標が $1$ である $\mathrm{A}$ と異なる共有点がただ $1$ つ存在することが示された。$$\tag{証明終}$$

そしてその共有点の $x$ 座標は $\mathbf{-3}$ である。

⑵

⑴より、$\alpha=-3$ なので
$$\begin{eqnarray}
&& \displaystyle\int_{-3}^{1}\{f(x)-g(x)\}^2dx \\
&=& \displaystyle\int_{-3}^{1}\{f(x)\}^2dx
-2 \displaystyle\int_{-3}^{1}f(x)g(x)dx
+ \displaystyle\int_{-3}^{1}\{g(x)\}^2dx
\end{eqnarray}$$

ここで
$$\begin{eqnarray}
I_1 &=& \displaystyle\int_{-3}^{1}\{f(x)\}^2dx, \\
I_2 &=& \displaystyle\int_{-3}^{1}f(x)g(x)dx, \\
I_3 &=& \displaystyle\int_{-3}^{1}\{g(x)\}^2dx
\end{eqnarray}$$とおく。

$I_1,I_2$ について $x=\sqrt{3}\tan\theta$ とおくと
$$dx = \dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta}d\theta \qquad
\begin{array}{c|c} \hline
x & -3 \to 1 \\
\hline
\theta & -\dfrac{\pi}{3} \to \dfrac{\pi}{6} \\
\hline
\end{array}$$より
$$\begin{eqnarray}
I_1 &=& \displaystyle\int_{-3}^{1}\left( \dfrac{x}{x^2+3} \right)^2dx \\
&=& \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{3\tan^2\theta}{9(1+\tan^2\theta)^2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta}d\theta \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{3}} \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}d\theta \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{3}} \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\cdot \cos^2\theta \ d\theta \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{3}} \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \sin^2\theta \ d\theta \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{3}} \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{1-\cos2\theta}{2} d\theta \\
&=& \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \left[ \theta \ – \ \dfrac{\sin2\theta}{2} \right]_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \\
&=& \dfrac{\sqrt{3}}{12}\pi \ – \ \dfrac{1}{4}
\end{eqnarray}$$$$\begin{eqnarray}
I_2 &=& \displaystyle\int_{-3}^{1} \dfrac{x}{x^2+3} \cdot \dfrac{x+1}{8}dx \\
&=& \dfrac{1}{8} \displaystyle\int_{-3}^{1} \left( 1+\dfrac{x-3}{x^2+3} \right) dx \\
&=& \dfrac{1-(-3)}{8} + \dfrac{1}{8}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{\sqrt{3}\big(\tan\theta-\sqrt{3}\big)}{3(1+\tan^2\theta)} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta}d\theta \\
&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \left\{ -\dfrac{(\cos\theta)’}{\cos\theta}-\sqrt{3} \right\}d\theta \\
&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}\left[ -\log|\cos\theta|-\sqrt{3}\theta \right]_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \\
&=& \dfrac{1}{2} -\dfrac{\log 3}{16} \ – \ \dfrac{\sqrt{3}}{16}\pi
\end{eqnarray}$$$$\begin{eqnarray}
I_3 &=& \displaystyle\int_{-3}^{1}\left( \dfrac{x+1}{8} \right)^2dx \\
&=& \dfrac{1}{64}\left[ \dfrac{(x+1)^3}{3} \right]_{-3}^{1} \\
&=& \dfrac{1}{12}
\end{eqnarray}$$

よって
$$\begin{eqnarray}
&& \displaystyle\int_{-3}^{1}\{f(x)-g(x)\}^2dx \\
&=& I_1-2I_2+I_3 \\
&=& \bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{12}\pi \ – \ \dfrac{1}{4}\bigg) -2\bigg( \dfrac{1}{2} -\dfrac{\log 3}{16} \ – \ \dfrac{\sqrt{3}}{16}\pi \bigg) +\dfrac{1}{12} \\
&=& \boldsymbol{\dfrac{5\sqrt{3}}{24}\pi + \dfrac{\log 3}{8} \ – \ \dfrac{7}{6}}
\end{eqnarray}$$

解説

⑴で $3$ 次式の因数分解をする際、$2$ つのグラフが $x=1$ で共有点をもつ（さらに接する）ので、$(x-1)^2$ でくくれることが明らかです。

⑵では $\{f(x)-g(x)\}^2$ を展開するところからスタートしますが、これが意外と勇気のいる決断かなと思います。
⑴で因数分解をしている分、展開せずに $2$ 乗の形のままいけるのでは？と思うかもしれません。たしかに対数微分をするときには嬉しい形なのですが、ここでは積分をしなければならないので、やはり細かく和の形になっている方が良いです。

三角関数のからむ定積分・置換積分は式変形をスムーズに行えるよう、練習を重ねましょう。

まとめ

今回は、東京大学理系数学（2021年 第3問）の解説をしました。