京都大学 理系数学 2023年 第1問 解説

今回は、京都大学理系数学（2023年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　次の各問に答えよ．

問１　定積分 $\displaystyle\int_1^4\!\sqrt{x}\,\log(x^2)\,dx$ の値を求めよ．

問２　整式 $x^{2023}-1$ を整式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余りを求めよ．

（京都大学）

解答

問１

定積分 $\displaystyle\int_1^4\!\sqrt{x}\,\log(x^2)\,dx$ の値を求めよ．

部分積分を用いて
$$\begin{eqnarray}
&& \displaystyle\int_1^4\!\sqrt{x}\,\log(x^2)\,dx \\[0.2em]
&=& \displaystyle\int_1^42x^{\frac{1}{2}}\log x\,dx \\[0.2em]
&=& \left[\dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}\log x\right]_1^4-\displaystyle\int_1^4\dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx \\[0.2em]
&=& \dfrac{4}{3}\cdot8\log4-\displaystyle\int_1^4\dfrac{4}{3}x^{\frac{1}{2}}\,dx \\[0.2em]
&=& \dfrac{64}{3}\log2-\left[\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^4 \\[0.2em]
&=& \dfrac{64}{3}\log2-\dfrac{8}{9}\cdot(8-1) \\[0.2em]
&=& \boldsymbol{\dfrac{64}{3}\log2-\dfrac{56}{9}}.
\end{eqnarray}$$

問２

整式 $x^{2023}-1$ を整式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余りを求めよ．

$$\begin{eqnarray}
x^{2020}-1
&=& (x^5)^{404}-1 \\[0.2em]
&=& (x^5-1)\{(x^5)^{403}+(x^5)^{402}+\cdots+x^5+1\} \\[0.2em]
&=& (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\{(x^5)^{403}+(x^5)^{402}+\cdots+x^5+1\}
\end{eqnarray}$$より、$x^{2020}-1$ は $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割り切れる。

さらに
$$x^{2023}-1=x^3(x^{2020}-1)+x^3-1$$より、求める余りは $\boldsymbol{x^3-1}$ である。

解説

問１は、積分の基本的な問題です。$x$ の式と $\log$ の積なので部分積分をします。符号・計算のミスに注意しましょう。

問２は、整式についての問題で、類題を解いた人も多いのではないかと思います。
$x^4+x^3+x^2+x+1$ は $x^5-1$ を割り切り、$x^5-1$ は $x^{2020}-1$ を割り切るという流れを意識しましょう。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2023年 第1問）の解説をしました。