神戸大学 理系数学 2020年[後期] 第3問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2020年後期 第3問）の解説をしたいと思います。

問題

$n$ を自然数とし，実数 $x$ に対して
$$f_n(x)=(-1)^n\left\{e^{-x}-1-\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}x^k\right\}$$とする．以下の問に答えよ．

⑴　$f_{n+1}(x)$ の導関数 $f_{n+1}'(x)$ について，$f_{n+1}'(x)=f_n(x)$ が成り立つことを示せ．

⑵　すべての自然数 $n$ について，$x\gt 0$ のとき $f_n(x)\lt 0$ であることを示せ．

⑶　$a_n=1+\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}$ とする．$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{2n}$ を求めよ．

（神戸大学）

解答

⑴

$$f_{n+1}(x)=(-1)^{n+1}\left\{e^{-x}-1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{(-1)^k}{k!}x^k\right\}$$より
$$\begin{align}
f_{n+1}'(x) &= (-1)^{n+1}\left\{-e^{-x}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{(-1)^k}{k!}\cdot kx^{k-1}\right\} \\
&= (-1)^n\left\{e^{-x}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!}x^{k-1}\right\} \\
&= (-1)^n\left\{e^{-x}-\dfrac{(-1)^0}{0!}x^{0}-\displaystyle\sum_{k=2}^{n+1}\dfrac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!}x^{k-1}\right\} \\
&= (-1)^n\left\{e^{-x}-1-\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}x^k\right\} \\
&= f_n(x)
\end{align}$$となるから、題意は示された。$$\tag{証明終}$$

⑵

数学的帰納法により証明する。

(ⅰ)　$n=1$ のとき
$$\begin{align}
f_1(x) &= (-1)\{e^{-x}-1-(-1)x\} \\
&= -e^{-x}-x+1
\end{align}$$より、$x\gt 0$ のとき
$$f_{1}'(x)=e^{-x}-1\lt e^0-1=0$$となるから成り立つ。

(ⅱ)　$n=\ell$（ $\ell$ は自然数）のとき $f_\ell(x)\lt 0$ が成り立つと仮定すると、⑴より
$$f_{\ell+1}'(x)=f_\ell(x)\lt 0$$となる。

ここで
$$f_{\ell+1}(0)=0$$であるから、$x\gt 0$ のとき
$$f_{\ell+1}(x)\lt 0$$となり、$n=\ell+1$ のときも成り立つ。

(ⅰ),(ⅱ)より、すべての自然数 $n$ について、$x\gt 0$ のとき $f_n(x)\lt 0$ である。$$\tag{証明終}$$

⑶

⑵より、すべての自然数 $n$ について
$$f_n(1)\lt 0$$が成り立つ。

よって、$f_{2n}(1)$ について
$$\begin{align}
f_{2n}(1) &= (-1)^{2n}\left\{e^{-1}-1-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k!}\right\} \\
&= \dfrac{1}{e}-a_{2n}\lt 0
\end{align}$$となるので
$$\dfrac{1}{e}\lt a_{2n} \quad\cdots\text{①}$$が成り立つ。

また、$f_{2n+1}(1)$ について
$$\begin{align}
f_{2n+1}(1) &= (-1)^{2n+1}\left\{e^{-1}-1-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n+1}\dfrac{(-1)^k}{k!}\right\} \\
&= (-1)\left\{\dfrac{1}{e}-1-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k!}-\dfrac{(-1)^{2n+1}}{(2n+1)!}\right\} \\
&= -\dfrac{1}{e}+a_{2n}-\dfrac{1}{(2n+1)!}\lt 0
\end{align}$$となるので
$$a_{2n}\lt\dfrac{1}{e}+\dfrac{1}{(2n+1)!} \quad\cdots\text{②}$$が成り立つ。

①,②より
$$\dfrac{1}{e}\lt a_{2n}\lt\dfrac{1}{e}+\dfrac{1}{(2n+1)!}$$となる。

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{\dfrac{1}{e}+\dfrac{1}{(2n+1)!}\right\}=\dfrac{1}{e}$$であるから、はさみうちの原理により
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{2n}=\boldsymbol{\dfrac{1}{e}}$$

解説

⑴は、$f_{n+1}'(x)$ を変形していけば大丈夫です。
$-1$ の累乗などに気を付けましょう。

⑵は、すべての自然数に関する証明なので、数学的帰納法を試しましょう。
$f_{\ell+1}(x)$ を変形して、無理矢理 $f_{\ell}(x)$ をつくり出すこともできますが、$f_{\ell+1}(x)\lt 0$ を示すのは厳しそうなので、⑴を利用する方法を考えましょう。

⑶は、$f_n(x)$ の中に $a_n$ っぽい式がありますが、$x^k$ が邪魔です。$x=1$ とすればこれが消えて、さらに $x=1\gt 0$ より、⑵で示したことが使えます。

①のように $a_{2n}$ を下から評価したら、今度は上からの評価をしましょう。

$x=1$ のところは変えられなさそうなので、$f_{2n}$ の $2n$ の部分を変えてみると、上手くいくことに気づきます。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2020年後期 第3問）の解説をしました。