神戸大学 理系数学 2019年[後期] 第3問 解説

今回は、神戸大学理系数学（2019年後期 第3問）の解説をしたいと思います。

問題

$N$ を $10$ 以上の整数とする．あたりが $1$ 本，はずれが $2$ 本の合計 $3$ 本からなるくじがある．このくじを用いて次のようなゲームを考える．くじを引いて，あたりかはずれかを確認し，引いたくじをもとに戻す試行をくり返す．はずれを引いた回数が合計 $3$ 回になるか，くじを引いた回数が合計 $N$ 回になった時点でゲームを終了する．終了時までにあたりを引いた回数を $m$ として，ゲームの得点を $m\leqq 3$ のとき $0$ 点，$m\geqq 4$ のとき $m-3$ 点とする．以下の問に答えよ．

⑴　得点が $0$ 点となる確率 $p_0$ を求めよ．

⑵　$n$ を $1\leqq n\leqq N-6$ をみたす整数とする．得点がちょうど $n$ 点となる確率 $p_n$ を求めよ．

⑶　$1\leqq n\leqq N-6$ をみたす整数 $n$ に対し，⑵で求めた $p_n$ を用いて $a_n=n{p}_n$ とおく．$1\leqq n\leqq N-7$ のとき，次の不等式を示せ．
$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\leqq {\displaystyle \frac{14}{15}}$$

⑷　⑶の $a_n$ に対して，${\displaystyle \sum _{n=1}^{N-6}{a}_n<1}$ であることを示せ．

（神戸大学）

解答

⑴

得点が $0$ 点となるのは
$$m=k\text{（}k=0,1,2,3\text{）}$$のときである。

このとき、くじを引く回数は $6$ 回以下、すなわち $N$ 回未満となる。

よって、$m=k$ となるのは、$1$ ～ $(k+2)$ 回目の試行であたりを $k$ 回、はずれを $2$ 回引き、$(k+3)$ 回目の試行ではずれを引くときなので、求める確率は
$$\begin{array}{rl}{p}_0& ={\displaystyle \sum _{k=0}^3{}_{k+2}{\mathrm{C}}_2{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}}\\ & ={\displaystyle \frac{2^3}{3^3}}\cdot ({\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_2}{3^0}}+{\displaystyle \frac{{}_3{\mathrm{C}}_2}{3^1}}+{\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_2}{3^2}}+{\displaystyle \frac{{}_5{\mathrm{C}}_2}{3^3}})\\ & ={\displaystyle \frac{2^3}{3^3}}\cdot (1+1+{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{10}{3^3}})\\ & ={\displaystyle \frac{\mathbf{656}}{\mathbf{729}}}\end{array}$$

⑵

$n>0$ より、得点が $n$ 点のとき
$$\begin{array}{rl}m-3& =n\\ \therefore m& =n+3\end{array}$$となる。

はずれを引く回数は $3$ 回以下なので、くじを引く回数は $n+6$ 回以下、すなわち $N$ 回以下となる。

よって、$m=n+3$ となるのは、$1$ ～ $(n+5)$ 回目の試行であたりを $(n+3)$ 回、はずれを $2$ 回引き、$(n+6)$ 回目の試行ではずれを引くときなので、求める確率は
$$\begin{array}{rl}{p}_n& ={}_{n+5}{\mathrm{C}}_2{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n+3}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{(n+5)(n+4)}{2\cdot 1}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3^{n+3}}}\cdot {\displaystyle \frac{2^3}{3^3}}\\ & ={\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{(}\mathit{n}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathit{n}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{)}}{{\mathbf{3}}^{\mathit{n}\mathbf{+}\mathbf{6}}}}\end{array}$$

⑶

$a_n={\displaystyle \frac{4n(n+4)(n+5)}{3^{n+6}}}\cdots \text{①}$ より
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}& ={\displaystyle \frac{4(n+1)(n+5)(n+6)}{3^{n+7}}}\cdot {\displaystyle \frac{3^{n+6}}{4n(n+4)(n+5)}}\\ & ={\displaystyle \frac{(n+1)(n+6)}{3n(n+4)}}\end{array}$$

したがって
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{14}{15}}-{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}& ={\displaystyle \frac{14}{15}}-{\displaystyle \frac{(n+1)(n+6)}{3n(n+4)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\{{\displaystyle \frac{14}{5}}-{\displaystyle \frac{(n+1)(n+6)}{n(n+4)}}\}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{14n(n+4)-5(n+1)(n+6)}{5n(n+4)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{9n^2+21n-30}{5n(n+4)}}\\ & ={\displaystyle \frac{(3n+10)(n-1)}{5n(n+4)}}\\ & \geqq 0\text{（}\because n\geqq 1\text{）}\end{array}$$より
$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\leqq {\displaystyle \frac{14}{15}}$$$$\begin{array}{}\text{(証明終)}& \end{array}$$

⑷

⑶より、$1\leqq n\leqq N-6$ において
$$\begin{array}{rl}{a}_n& \leqq {\displaystyle \frac{14}{15}}{a}_{n-1}\\ & \leqq {\left({\displaystyle \frac{14}{15}}\right)}^2{a}_{n-2}\\ & \leqq \cdots \\ & \leqq {\left({\displaystyle \frac{14}{15}}\right)}^{n-1}{a}_1\end{array}$$が成り立つ。

ここで、①より
$$a_1={\displaystyle \frac{4\cdot 5\cdot 6}{3^7}}={\displaystyle \frac{40}{3^6}}$$であるから
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{N-6}{a}_n}& \leqq {\displaystyle \sum _{n=1}^{N-6}{\left({\displaystyle \frac{14}{15}}\right)}^{n-1}{a}_1}\\ & ={\displaystyle \frac{40}{3^6}}\cdot {\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{14}{15}}\right)}^{N-6}}{1-{\displaystyle \frac{14}{15}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{200}{243}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{14}{15}}\right)}^{N-6}\}\\ & <{\displaystyle \frac{200}{243}}\\ & <1\end{array}$$より、題意は示された。$$\begin{array}{}\text{(証明終)}& \end{array}$$

解説

⑴と⑵の考え方は似ており、$(A-1)$ 回目までにあたりを何回か引き、かつ $A$ 回目にはずれを引けばよい、と分かれば答えにたどり着けると思います。

⑷は⑶が無くても解けますが、⑶の誘導を挟むことでよりシンプルに解けるようになっています。

まとめ

今回は、神戸大学理系数学（2019年後期 第3問）の解説をしました。