一橋大学 数学 2022年[後期] 第1問 解説

今回は、一橋大学数学（2022年後期 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　$\log_y(6x+y)=x$ を満たす正の整数 $x,\,y$ の組を求めよ。

（一橋大学）

解答

$x\geqq1$，$y\geqq1$ より、真数条件 $6x+y\gt0$ は満たされる。

底の条件 $y\gt1$ より $y\geqq2 \ \cdots\text{①}$

与式より
$$\begin{align}
y^x &= 6x+y \\[0.2em]
\therefore \ y(y^{x-1}-1) &= 6x \quad\cdots\text{②}
\end{align}$$

①と $x-1\geqq0$ より
$$y(y^{x-1}-1)\geqq2(2^{x-1}-1) \quad\cdots\text{③}$$

ここで、$x\geqq6$ のとき
$$2(2^{x-1}-1)\gt6x$$であることを示す。

$f(x)=2^{x-1}-1-3x$ とおくと
$$\begin{align}
f'(x) &= 2^{x-1}\log2-3 \\[0.2em]
&\geqq 2^5\log2-\log e^3 \\[0.2em]
&\gt 5\log2-\log3^3 \\[0.2em]
&= \log\dfrac{32}{27} \\[0.2em]
&\gt \log1=0
\end{align}$$より $f(x)$ は単調増加であり
$$f(x)\geqq f(6)=2^5-1-3\cdot6=13\gt0$$より、$x\geqq6$ のとき
$$\begin{align}
2^{x-1}-1 &\gt 3x \\
\therefore \ 2(2^{x-1}-1) &\gt 6x
\end{align}$$が成り立つ。

③より
$$y(y^{x-1}-1)\gt6x$$となるが、これは②に反するので、$x\geqq6$ のとき題意を満たす組 $(x,\,y)$ は存在しない。

(ⅰ)　$x=1$ のとき
②より $y\cdot0=6$ となるが、これを満たす整数 $y$ は存在しない。

(ⅱ)　$x=2$ のとき
②より
$$\begin{align}
y(y-1) &= 12 \\[0.2em]
(y-4)(y+3) &= 0 \\[0.1em]
\therefore \ y &= 4,\,-3
\end{align}$$①より $y=4$ となる。

(ⅲ)　$x=3$ のとき
②より $y(y^2-1)=18$

$y\geqq3$ のとき
$$y(y^2-1)\geqq3\cdot(3^2-1)=24\gt18$$より不適。

$y=2$ のとき
$$y(y^2-1)=2\cdot(2^2-1)=6\ne18$$より不適。

(ⅳ)　$x=4$ のとき
②より $y(y^3-1)=24$

$y\geqq3$ のとき
$$y(y^3-1)\geqq3\cdot(3^3-1)=78\gt24$$より不適。

$y=2$ のとき
$$y(y^3-1)=2\cdot(2^3-1)=14\ne24$$より不適。

(ⅴ)　$x=5$ のとき
②より $y(y^4-1)=30$

$y\geqq3$ のとき
$$y(y^4-1)\geqq3\cdot(3^4-1)=240\gt30$$より不適。

$y=2$ のとき
$$y(y^4-1)=2\cdot(2^4-1)=30$$より適する。

(ⅰ)～(ⅴ)より、題意を満たす整数の組 $(x,\,y)$ は
$$(x,\,y)=\mathbf{(2,\,4)}, \ \mathbf{(5,\,2)}$$

解説

$\log$ に文字が入っているときは、「$\,(\text{真数})\gt0\,$」と「$\,(\text{底})\gt0$ かつ $(\text{底})\ne1\,$」を必ずチェックしましょう。今回は忘れてもそこまで影響はないですが。

さて、②まで変形すると、左辺には指数関数、右辺には $1$ 次関数という形になり、$x$ がある程度大きくなると左辺の方が大きくなりそうだと予想できます。本解答はそこを手掛かりとして進めています。

$x\leqq5$ まで範囲が絞れたら、あとはしらみつぶしに調べるのが良いです。

単調増加性などに注目して、不適のケースをスムーズに判断できるようにしましょう。

まとめ

今回は、一橋大学数学（2022年後期 第1問）の解説をしました。