一橋大学 数学 2021年 第5問 解説

今回は、一橋大学数学（2021年 第5問）の解説をしたいと思います。

問題

　サイコロを $3$ 回投げて出た目を順に $a,\,$$b,\,$$c$ とするとき，
$$\displaystyle\int_{a-3}^{a+3}(x-b)(x-c)dx=0$$となる確率を求めよ。

（一橋大学）

解答

与式より
$$\begin{align}
0 &= \displaystyle\int_{a-3}^{a+3}(x-b)(x-c)dx \\[0.2em]
&= \displaystyle\int_{a-3}^{a+3}\{x^2-(b+c)x+bc\}dx \\[0.2em]
&= \left[\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{b+c}{2}x^2+bcx\right]_{a-3}^{a+3} \\[0.2em]
&= \dfrac{1}{3}\{(a+3)^3-(a-3)^3\} \\
&\hphantom{=} \ \ -\dfrac{b+c}{2}\{(a+3)^2-(a-3)^2\} \\[0.2em]
&\hphantom{=} \ \ +bc\{(a+3)-(a-3)\} \\[0.3em]
&= \dfrac{1}{3}(18a^2+54)-\dfrac{b+c}{2}\cdot12a+6bc \\[0.2em]
&= 6(a^2-ab-ac+bc+3)
\end{align}$$

よって
$$\begin{align}
a^2-ab-ac+bc+3 &= 0 \\
(a-b)(a-c)-bc+bc+3 &= 0 \\
(a-b)(a-c) &= -3
\end{align}$$

対称性より $b\leqq c$ としてよい。

このとき、$a-b\geqq a-c$ より
$$(a-b,\,a-c)=(1,\,-3), \ (3,\,-1)$$となる。

(ⅰ)　$(a-b,\,a-c)=(1,\,-3)$ のとき
$$(a,\,b,\,c)=(a,\,a-1,\,a+3)$$と表せて、$a,\,b,\,c$ が $1$ 以上 $6$ 以下の整数であることに注意すると
$$(a,\,b,\,c)=(2,\,1,\,5), \ (3,\,2,\,6)$$

(ⅱ)　$(a-b,\,a-c)=(3,\,-1)$ のとき
$$(a,\,b,\,c)=(a,\,a-3,\,a+1)$$と表せて、(ⅰ)と同様に考えると
$$(a,\,b,\,c)=(4,\,1,\,5), \ (5,\,2,\,6)$$

(ⅰ),(ⅱ)より、題意を満たす $(a,\,b,\,c)$ のうち、$b=c$ のものはなく、$b\lt c$ のものは $4$ 通りある。

対称性より、$b\gt c$ のものも $4$ 通りあるので、求める確率は
$$\dfrac{4\cdot2}{6^3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{27}}$$

解説

積分を展開すると $3$ 文字の方程式となりますが、よく見ると $(\text{式})\times(\text{式})=(\text{定数})$ の形に書きかえられることがわかります。

右辺は $-3$ となるので、積の組み合わせは $4$ パターンになります。

本解答では、対称性からさらに半分のケースだけを検討しています。

まとめ

今回は、一橋大学数学（2021年 第5問）の解説をしました。