京都大学 理系数学 2019年 第1問 解説

今回は、京都大学理系数学（2019年 第1問）の解説をしたいと思います。

問題

　次の各問に答えよ。

問１　$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ とする。$\cos\theta$ は有理数ではないが，$\cos2\theta$ と $\cos3\theta$ がともに有理数となるような $\theta$ の値を求めよ。ただし，$p$ が素数のとき，$\sqrt{p}$ が有理数でないことは証明なしに用いてよい。

問２　次の定積分の値を求めよ。
⑴　$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{x}{\cos^2x}dx$　　　⑵　$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{dx}{\cos x}$

（京都大学）

解答

問１

$$\begin{align}
\cos3\theta &= 4\cos^3\theta-3\cos\theta \\
&= \cos\theta(4\cos^2\theta-3) \\
&= \cos\theta\{2(2\cos^2-1)-1\} \\[0.2em]
&= \cos\theta(2\cos2\theta-1)
\end{align}$$

$2\cos2\theta-1\ne0$ とすると
$$\cos\theta=\dfrac{\cos3\theta}{2\cos2\theta-1}\quad\cdots\text{①}$$となり、$\cos2\theta$ と $\cos3\theta$ がともに有理数であることから①の右辺は有理数となるが、$\cos\theta$ が有理数でないことに矛盾する。

したがって $2\cos2\theta-1=0$ である。

$0\lt2\theta\lt\pi$ より
$$\begin{align}
\cos2\theta &= \dfrac{1}{2} \\[0.2em]
2\theta &= \dfrac{\pi}{3} \\[0.2em]
\theta &= \boldsymbol{\dfrac{\pi}{6}}
\end{align}$$

このとき、$3$ が素数なので $\sqrt{3}$ は有理数でないから $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ は有理数でない。また $\cos2\theta=\dfrac{1}{2}$ と $\cos3\theta=0$ はともに有理数となる。

問２

⑴

$$\begin{eqnarray}
&& \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{x}{\cos^2x}dx \\
&=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}x(\tan x)’dx \\
&=& \Big[x\tan x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x\,dx \\
&=& \dfrac{\pi}{4}+\Big[\log|\cos x|\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\
&=& \dfrac{\pi}{4}+\log\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
&=& \boldsymbol{\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\log2}
\end{eqnarray}$$

⑵

$$\begin{eqnarray}
&& \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{dx}{\cos x} \\
&=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x}{\cos^2x}dx \\
&=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx \\
&=& \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\cos x}{1+\sin x}+\dfrac{\cos x}{1-\sin x}\right)dx \\
&=& \dfrac{1}{2}\Big[\log|1+\sin x|-\log|1-\sin x|\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\
&=& \dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}} \\
&=& \dfrac{1}{2}\log(\sqrt{2}+1)^2 \\
&=& \boldsymbol{\log(\sqrt{2}+1)}
\end{eqnarray}$$

解説

問１は、$\cos\theta$ に関する情報が「無理数」しかないので、$\cos\theta$ から議論を展開するのは難しそうです。
そこで、$\cos2\theta$ と $\cos3\theta$ がともに有理数であるという条件から話を進めます。

することといえば $\dfrac{q}{p}$ とおくか、加法定理を用いて式展開するかですが、後者を選択すると、$(\text{有理数})=(\text{無理数})\times(\text{有理数})$ という式が出てきます。
これは一見矛盾した式ですが、右辺の有理数が $0$ のときにのみ成り立ち、そこから $\theta$ の必要条件が求まります。

こうして求めた $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ は必要条件を満たしたに過ぎないので、本当に問題文の条件を満たすかチェックして、必要十分であることを確かめましょう。

問２は、部分積分や部分分数分解など、定積分の計算で頻出の操作をミスなく行えるかが問われています。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2019年 第1問）の解説をしました。