京都大学 理系数学 2022年 第2問 解説

今回は、京都大学理系数学（2022年 第2問）の解説をしたいと思います。

問題

　箱の中に $1$ から $n$ までの番号がついた $n$ 枚の札がある．ただし $n \geqq 5$ とし，同じ番号の札はないとする．この箱から $3$ 枚の札を同時に取り出し，札の番号を小さい順に $X, \ Y, \ Z$ とする．このとき，$Y-X \geqq 2$ かつ $Z-Y \geqq 2$ となる確率を求めよ．

（京都大学）

解答

$n$ 枚の札から $3$ 枚を取り出す方法の総数は
$${}_n \mathrm{C}_3 = \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$$

次に、「$Y-X \geqq 2$ かつ $Z-Y \geqq 2$」$\cdots \text{①}$ を満たす札の取り出し方を考える。

解法1

$1$ から $n-2$ までの番号がついた $n-2$ 枚の札の中から $3$ 枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順に $x, \ y, \ z$ とする。
このとき、「$y-x \geqq 1$ かつ $z-y \geqq 1$」$\cdots \text{②}$ が成り立つ。

ここで、$X=x, \ Y=y+1, \ Z=z+2$ とすると、②より
$$\begin{eqnarray}
Y-X &=& (y+1)-x = y-x+1 \\
&\geqq& 1+1 =2 \\[0.3em]
Z-Y &=& (z+2)-(y+1) = z-y+1 \\
&\geqq& 1+1 =2
\end{eqnarray}$$となり、①を満たす。

また、$(x, \ y, \ z)$ と $(X, \ Y, \ Z)$ は $1$ 対 $1$ 対応する。

よって、①を満たす札 $(X, \ Y, \ Z)$ の取り出し方は②を満たす札 $(x, \ y, \ z)$ の取り出し方と同じであり、その取り出し方の総数は
$${}_{n-2} \mathrm{C}_3 = \dfrac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}$$

したがって、求める確率は
$$\begin{eqnarray}
&& \dfrac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6} \div \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6} \\
&=& \boldsymbol{\dfrac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}}
\end{eqnarray}$$

解法2

$Y$（$=3,4,5, \cdots n-2$）の値を決めたとき、$X$ は $Y-2$ 通り、$Z$ は $n-Y-1$ 通りの選び方がある。

よって、①を満たす札の取り出し方は
$$\begin{eqnarray}
&& \displaystyle \sum_{Y=3}^{n-2} (Y-2)(n-Y-1) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n-4} k(n-k-3) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n-4} \big\{ (n-3)k \ – \ k^2 \big\} \\
&=& (n-3) \cdot \dfrac{1}{2} (n-4)(n-3) \ – \ \dfrac{1}{6} (n-4)(n-3)(2n-7) \\
&=& \dfrac{1}{6} (n-3)(n-4) \{ 3(n-3)-2(2n-7) \} \\
&=& \dfrac{1}{6} (n-2)(n-3)(n-4)
\end{eqnarray}$$

あとはこれを ${}_n \mathrm{C}_3$ で除して、「解法1」と同様に計算すればよい。

解説

この問題は、札の取り出し方をうまく考えることが重要です。

一見数え上げるのが難しそうな場合の数は、以下の条件に合うよう、別の数え方に変換しましょう。

• 求める場合の数と $1$ 対 $1$ 対応する
• 簡単に求められる場合の数に帰着させる

どうしても別の数え方が思いつかない場合は、最終手段として「解法2」のように $\sum$ を使う方法もあります。ただし、計算が複雑になりミスが発生しやすくなるため、注意が必要です。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2022年 第2問）の解説をしました。