京都大学 理系数学 2021年 第3問 解説

今回は、京都大学理系数学（2021年 第3問）の解説をしたいと思います。

問題

　無限級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cos\dfrac{n\pi}{6}$ の和を求めよ．

（京都大学）

解答

部分和 $S_n$ を
$$S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\cos\dfrac{k\pi}{6}$$とおく。ここで
$$z=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$$とおくと、$0$ 以上の整数 $k$ に対して
$$z^k=\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\left(\cos\dfrac{k\pi}{6}+i\sin\dfrac{k\pi}{6}\right)$$となるので
$$\begin{eqnarray}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n}z^k &=& \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\cos\dfrac{k\pi}{6} + i\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\sin\dfrac{k\pi}{6} \\
&=& S_n + i\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\sin\dfrac{k\pi}{6}
\end{eqnarray}$$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\sin\dfrac{k\pi}{6}$ は実数なので、$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}z^k$ の実部が $S_n$ となる。 $\cdots\text{①}$

等比数列の和の公式より
$$\begin{eqnarray}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n}z^k &=& \dfrac{1-z^{n+1}}{1-z} \\
&=& \dfrac{1}{1-z}-\dfrac{z^{n+1}}{1-z}
\end{eqnarray}$$

ここで、$a,b,c_n,d_n$ を実数として
$$\begin{eqnarray}
\dfrac{1}{1-z} &=& a+bi, \\
\dfrac{z^{n+1}}{1-z} &=& c_n +d_ni
\end{eqnarray}$$とおくと、①より
$$S_n = a-c_n$$が成り立つ。したがって
$$\begin{eqnarray}
a-S_n &=& c_n \\
\therefore\quad |a-S_n| &=& |c_n| \quad\cdots\text{②}
\end{eqnarray}$$

このとき
$$|c_n| \leqq \sqrt{c_n^{ \ 2}+d_n^{ \ 2}} = \left| \dfrac{z^{n+1}}{1-z} \right| = \dfrac{|z|^{n+1}}{|1-z|} = \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{|1-z|} \quad\cdots\text{③}$$

②,③より
$$0\leqq |a-S_n| \leqq \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{|1-z|}$$が成り立つ。

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{|1-z|} = 0$$なので、はさみうちの原理により
$$\begin{eqnarray}
\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a-S_n| &=& 0 \\
\therefore\quad \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n &=& a
\end{eqnarray}$$となる。

$$\begin{eqnarray}
\dfrac{1}{1-z} &=& \dfrac{1}{1-\bigg( \dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{1}{4}i \bigg)} \\
&=& \dfrac{4}{4-\sqrt{3}-i} \\
&=& \dfrac{4(4-\sqrt{3}+i)}{(4-\sqrt{3})^2+1} \\
&=& \dfrac{4-\sqrt{3}+i}{5-2\sqrt{3}} \\
&=& \dfrac{14+3\sqrt{3}}{13}+\dfrac{5+2\sqrt{3}}{13}i \quad\cdots\text{④}
\end{eqnarray}$$

④の実部が求める答えであるから
$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cos\dfrac{n\pi}{6}=\boldsymbol{\dfrac{14+3\sqrt{3}}{13}}$$

解説

初見でこの問題を解くのはほぼ無理です。

練習問題などで $\cos$ の和は $\sin$ の和とセットにして複素数の実部として考える、ということを経験していれば話は別ですが、正直キツいと思います。

解答を見て、へぇそんな考え方があるんだ、くらいの気持ちで大丈夫だと思います。

本番でこれが出たらどうするんだ！という人へ、大丈夫です。
こんなのみんな解けないので差は付きません。

まとめ

今回は、京都大学理系数学（2021年 第3問）の解説をしました。